lib/msun/ld80/e_powl.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
   3  *
   4  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
   5  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
   6  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
   7  *
   8  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
   9  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
  10  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
  11  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
  12  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
  13  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
  14  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
  15  */
  16
  17 #include <math.h>
  18
  19 #include "math_private.h"
  20
  21 /*
  22  * Polynomial evaluator:
  23  *  P[0] x^n  +  P[1] x^(n-1)  +  ...  +  P[n]
  24  */
  25 static inline long double
  26 __polevll(long double x, long double *PP, int n)
  27 {
  28         long double y;
  29         long double *P;
  30
  31         P = PP;
  32         y = *P++;
  33         do {
  34                 y = y * x + *P++;
  35         } while (--n);
  36
  37         return (y);
  38 }
  39
  40 /*
  41  * Polynomial evaluator:
  42  *  x^n  +  P[0] x^(n-1)  +  P[1] x^(n-2)  +  ...  +  P[n]
  43  */
  44 static inline long double
  45 __p1evll(long double x, long double *PP, int n)
  46 {
  47         long double y;
  48         long double *P;
  49
  50         P = PP;
  51         n -= 1;
  52         y = x + *P++;
  53         do {
  54                 y = y * x + *P++;
  55         } while (--n);
  56
  57         return (y);
  58 }
  59
  60 /*                                                      powl.c
  61  *
  62  *      Power function, long double precision
  63  *
  64  *
  65  *
  66  * SYNOPSIS:
  67  *
  68  * long double x, y, z, powl();
  69  *
  70  * z = powl( x, y );
  71  *
  72  *
  73  *
  74  * DESCRIPTION:
  75  *
  76  * Computes x raised to the yth power.  Analytically,
  77  *
  78  *      x**y  =  exp( y log(x) ).
  79  *
  80  * Following Cody and Waite, this program uses a lookup table
  81  * of 2**-i/32 and pseudo extended precision arithmetic to
  82  * obtain several extra bits of accuracy in both the logarithm
  83  * and the exponential.
  84  *
  85  *
  86  *
  87  * ACCURACY:
  88  *
  89  * The relative error of pow(x,y) can be estimated
  90  * by   y dl ln(2),   where dl is the absolute error of
  91  * the internally computed base 2 logarithm.  At the ends
  92  * of the approximation interval the logarithm equal 1/32
  93  * and its relative error is about 1 lsb = 1.1e-19.  Hence
  94  * the predicted relative error in the result is 2.3e-21 y .
  95  *
  96  *                      Relative error:
  97  * arithmetic   domain     # trials      peak         rms
  98  *
  99  *    IEEE     +-1000       40000      2.8e-18      3.7e-19
 100  * .001 < x < 1000, with log(x) uniformly distributed.
 101  * -1000 < y < 1000, y uniformly distributed.
 102  *
 103  *    IEEE     0,8700       60000      6.5e-18      1.0e-18
 104  * 0.99 < x < 1.01, 0 < y < 8700, uniformly distributed.
 105  *
 106  *
 107  * ERROR MESSAGES:
 108  *
 109  *   message         condition      value returned
 110  * pow overflow     x**y > MAXNUM      INFINITY
 111  * pow underflow   x**y < 1/MAXNUM       0.0
 112  * pow domain      x<0 and y noninteger  0.0
 113  *
 114  */
 115
 116 #include <float.h>
 117 #include <math.h>
 118
 119 #include "math_private.h"
 120
 121 /* Table size */
 122 #define NXT 32
 123 /* log2(Table size) */
 124 #define LNXT 5
 125
 126 /* log(1+x) =  x - .5x^2 + x^3 *  P(z)/Q(z)
 127  * on the domain  2^(-1/32) - 1  <=  x  <=  2^(1/32) - 1
 128  */
 129 static long double P[] = {
 130  8.3319510773868690346226E-4L,
 131  4.9000050881978028599627E-1L,
 132  1.7500123722550302671919E0L,
 133  1.4000100839971580279335E0L,
 134 };
 135 static long double Q[] = {
 136 /* 1.0000000000000000000000E0L,*/
 137  5.2500282295834889175431E0L,
 138  8.4000598057587009834666E0L,
 139  4.2000302519914740834728E0L,
 140 };
 141 /* A[i] = 2^(-i/32), rounded to IEEE long double precision.
 142  * If i is even, A[i] + B[i/2] gives additional accuracy.
 143  */
 144 static long double A[33] = {
 145  1.0000000000000000000000E0L,
 146  9.7857206208770013448287E-1L,
 147  9.5760328069857364691013E-1L,
 148  9.3708381705514995065011E-1L,
 149  9.1700404320467123175367E-1L,
 150  8.9735453750155359320742E-1L,
 151  8.7812608018664974155474E-1L,
 152  8.5930964906123895780165E-1L,
 153  8.4089641525371454301892E-1L,
 154  8.2287773907698242225554E-1L,
 155  8.0524516597462715409607E-1L,
 156  7.8799042255394324325455E-1L,
 157  7.7110541270397041179298E-1L,
 158  7.5458221379671136985669E-1L,
 159  7.3841307296974965571198E-1L,
 160  7.2259040348852331001267E-1L,
 161  7.0710678118654752438189E-1L,
 162  6.9195494098191597746178E-1L,
 163  6.7712777346844636413344E-1L,
 164  6.6261832157987064729696E-1L,
 165  6.4841977732550483296079E-1L,
 166  6.3452547859586661129850E-1L,
 167  6.2092890603674202431705E-1L,
 168  6.0762367999023443907803E-1L,
 169  5.9460355750136053334378E-1L,
 170  5.8186242938878875689693E-1L,
 171  5.6939431737834582684856E-1L,
 172  5.5719337129794626814472E-1L,
 173  5.4525386633262882960438E-1L,
 174  5.3357020033841180906486E-1L,
 175  5.2213689121370692017331E-1L,
 176  5.1094857432705833910408E-1L,
 177  5.0000000000000000000000E-1L,
 178 };
 179 static long double B[17] = {
 180  0.0000000000000000000000E0L,
 181  2.6176170809902549338711E-20L,
 182 -1.0126791927256478897086E-20L,
 183  1.3438228172316276937655E-21L,
 184  1.2207982955417546912101E-20L,
 185 -6.3084814358060867200133E-21L,
 186  1.3164426894366316434230E-20L,
 187 -1.8527916071632873716786E-20L,
 188  1.8950325588932570796551E-20L,
 189  1.5564775779538780478155E-20L,
 190  6.0859793637556860974380E-21L,
 191 -2.0208749253662532228949E-20L,
 192  1.4966292219224761844552E-20L,
 193  3.3540909728056476875639E-21L,
 194 -8.6987564101742849540743E-22L,
 195 -1.2327176863327626135542E-20L,
 196  0.0000000000000000000000E0L,
 197 };
 198
 199 /* 2^x = 1 + x P(x),
 200  * on the interval -1/32 <= x <= 0
 201  */
 202 static long double R[] = {
 203  1.5089970579127659901157E-5L,
 204  1.5402715328927013076125E-4L,
 205  1.3333556028915671091390E-3L,
 206  9.6181291046036762031786E-3L,
 207  5.5504108664798463044015E-2L,
 208  2.4022650695910062854352E-1L,
 209  6.9314718055994530931447E-1L,
 210 };
 211
 212 #define douba(k) A[k]
 213 #define doubb(k) B[k]
 214 #define MEXP (NXT*16384.0L)
 215 /* The following if denormal numbers are supported, else -MEXP: */
 216 #define MNEXP (-NXT*(16384.0L+64.0L))
 217 /* log2(e) - 1 */
 218 #define LOG2EA 0.44269504088896340735992L
 219
 220 #define F W
 221 #define Fa Wa
 222 #define Fb Wb
 223 #define G W
 224 #define Ga Wa
 225 #define Gb u
 226 #define H W
 227 #define Ha Wb
 228 #define Hb Wb
 229
 230 static const long double MAXLOGL = 1.1356523406294143949492E4L;
 231 static const long double MINLOGL = -1.13994985314888605586758E4L;
 232 static const long double LOGE2L = 6.9314718055994530941723E-1L;
 233 static volatile long double z;
 234 static long double w, W, Wa, Wb, ya, yb, u;
 235 static const long double huge = 0x1p10000L;
 236 #if 0 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this. */
 237 static const long double twom10000 = 0x1p-10000L;
 238 #else
 239 static volatile long double twom10000 = 0x1p-10000L;
 240 #endif
 241
 242 static long double reducl( long double );
 243 static long double powil ( long double, int );
 244
 245 long double
 246 powl(long double x, long double y)
 247 {
 248 /* double F, Fa, Fb, G, Ga, Gb, H, Ha, Hb */
 249 int i, nflg, iyflg, yoddint;
 250 long e;
 251
 252 if( y == 0.0L )
 253         return( 1.0L );
 254
 255 if( x == 1.0L )
 256         return( 1.0L );
 257
 258 if( isnan(x) )
 259         return ( nan_mix(x, y) );
 260 if( isnan(y) )
 261         return ( nan_mix(x, y) );
 262
 263 if( y == 1.0L )
 264         return( x );
 265
 266 if( !isfinite(y) && x == -1.0L )
 267         return( 1.0L );
 268
 269 if( y >= LDBL_MAX )
 270         {
 271         if( x > 1.0L )
 272                 return( INFINITY );
 273         if( x > 0.0L && x < 1.0L )
 274                 return( 0.0L );
 275         if( x < -1.0L )
 276                 return( INFINITY );
 277         if( x > -1.0L && x < 0.0L )
 278                 return( 0.0L );
 279         }
 280 if( y <= -LDBL_MAX )
 281         {
 282         if( x > 1.0L )
 283                 return( 0.0L );
 284         if( x > 0.0L && x < 1.0L )
 285                 return( INFINITY );
 286         if( x < -1.0L )
 287                 return( 0.0L );
 288         if( x > -1.0L && x < 0.0L )
 289                 return( INFINITY );
 290         }
 291 if( x >= LDBL_MAX )
 292         {
 293         if( y > 0.0L )
 294                 return( INFINITY );
 295         return( 0.0L );
 296         }
 297
 298 w = floorl(y);
 299 /* Set iyflg to 1 if y is an integer.  */
 300 iyflg = 0;
 301 if( w == y )
 302         iyflg = 1;
 303
 304 /* Test for odd integer y.  */
 305 yoddint = 0;
 306 if( iyflg )
 307         {
 308         ya = fabsl(y);
 309         ya = floorl(0.5L * ya);
 310         yb = 0.5L * fabsl(w);
 311         if( ya != yb )
 312                 yoddint = 1;
 313         }
 314
 315 if( x <= -LDBL_MAX )
 316         {
 317         if( y > 0.0L )
 318                 {
 319                 if( yoddint )
 320                         return( -INFINITY );
 321                 return( INFINITY );
 322                 }
 323         if( y < 0.0L )
 324                 {
 325                 if( yoddint )
 326                         return( -0.0L );
 327                 return( 0.0 );
 328                 }
 329         }
 330
 331
 332 nflg = 0;       /* flag = 1 if x<0 raised to integer power */
 333 if( x <= 0.0L )
 334         {
 335         if( x == 0.0L )
 336                 {
 337                 if( y < 0.0 )
 338                         {
 339                         if( signbit(x) && yoddint )
 340                                 return( -INFINITY );
 341                         return( INFINITY );
 342                         }
 343                 if( y > 0.0 )
 344                         {
 345                         if( signbit(x) && yoddint )
 346                                 return( -0.0L );
 347                         return( 0.0 );
 348                         }
 349                 if( y == 0.0L )
 350                         return( 1.0L );  /*   0**0   */
 351                 else
 352                         return( 0.0L );  /*   0**y   */
 353                 }
 354         else
 355                 {
 356                 if( iyflg == 0 )
 357                         return (x - x) / (x - x); /* (x<0)**(non-int) is NaN */
 358                 nflg = 1;
 359                 }
 360         }
 361
 362 /* Integer power of an integer.  */
 363
 364 if( iyflg )
 365         {
 366         i = w;
 367         w = floorl(x);
 368         if( (w == x) && (fabsl(y) < 32768.0) )
 369                 {
 370                 w = powil( x, (int) y );
 371                 return( w );
 372                 }
 373         }
 374
 375
 376 if( nflg )
 377         x = fabsl(x);
 378
 379 /* separate significand from exponent */
 380 x = frexpl( x, &i );
 381 e = i;
 382
 383 /* find significand in antilog table A[] */
 384 i = 1;
 385 if( x <= douba(17) )
 386         i = 17;
 387 if( x <= douba(i+8) )
 388         i += 8;
 389 if( x <= douba(i+4) )
 390         i += 4;
 391 if( x <= douba(i+2) )
 392         i += 2;
 393 if( x >= douba(1) )
 394         i = -1;
 395 i += 1;
 396
 397
 398 /* Find (x - A[i])/A[i]
 399  * in order to compute log(x/A[i]):
 400  *
 401  * log(x) = log( a x/a ) = log(a) + log(x/a)
 402  *
 403  * log(x/a) = log(1+v),  v = x/a - 1 = (x-a)/a
 404  */
 405 x -= douba(i);
 406 x -= doubb(i/2);
 407 x /= douba(i);
 408
 409
 410 /* rational approximation for log(1+v):
 411  *
 412  * log(1+v)  =  v  -  v**2/2  +  v**3 P(v) / Q(v)
 413  */
 414 z = x*x;
 415 w = x * ( z * __polevll( x, P, 3 ) / __p1evll( x, Q, 3 ) );
 416 w = w - ldexpl( z, -1 );   /*  w - 0.5 * z  */
 417
 418 /* Convert to base 2 logarithm:
 419  * multiply by log2(e) = 1 + LOG2EA
 420  */
 421 z = LOG2EA * w;
 422 z += w;
 423 z += LOG2EA * x;
 424 z += x;
 425
 426 /* Compute exponent term of the base 2 logarithm. */
 427 w = -i;
 428 w = ldexpl( w, -LNXT ); /* divide by NXT */
 429 w += e;
 430 /* Now base 2 log of x is w + z. */
 431
 432 /* Multiply base 2 log by y, in extended precision. */
 433
 434 /* separate y into large part ya
 435  * and small part yb less than 1/NXT
 436  */
 437 ya = reducl(y);
 438 yb = y - ya;
 439
 440 /* (w+z)(ya+yb)
 441  * = w*ya + w*yb + z*y
 442  */
 443 F = z * y  +  w * yb;
 444 Fa = reducl(F);
 445 Fb = F - Fa;
 446
 447 G = Fa + w * ya;
 448 Ga = reducl(G);
 449 Gb = G - Ga;
 450
 451 H = Fb + Gb;
 452 Ha = reducl(H);
 453 w = ldexpl( Ga+Ha, LNXT );
 454
 455 /* Test the power of 2 for overflow */
 456 if( w > MEXP )
 457         return (huge * huge);           /* overflow */
 458
 459 if( w < MNEXP )
 460         return (twom10000 * twom10000); /* underflow */
 461
 462 e = w;
 463 Hb = H - Ha;
 464
 465 if( Hb > 0.0L )
 466         {
 467         e += 1;
 468         Hb -= (1.0L/NXT);  /*0.0625L;*/
 469         }
 470
 471 /* Now the product y * log2(x)  =  Hb + e/NXT.
 472  *
 473  * Compute base 2 exponential of Hb,
 474  * where -0.0625 <= Hb <= 0.
 475  */
 476 z = Hb * __polevll( Hb, R, 6 );  /*    z  =  2**Hb - 1    */
 477
 478 /* Express e/NXT as an integer plus a negative number of (1/NXT)ths.
 479  * Find lookup table entry for the fractional power of 2.
 480  */
 481 if( e < 0 )
 482         i = 0;
 483 else
 484         i = 1;
 485 i = e/NXT + i;
 486 e = NXT*i - e;
 487 w = douba( e );
 488 z = w * z;      /*    2**-e * ( 1 + (2**Hb-1) )    */
 489 z = z + w;
 490 z = ldexpl( z, i );  /* multiply by integer power of 2 */
 491
 492 if( nflg )
 493         {
 494 /* For negative x,
 495  * find out if the integer exponent
 496  * is odd or even.
 497  */
 498         w = ldexpl( y, -1 );
 499         w = floorl(w);
 500         w = ldexpl( w, 1 );
 501         if( w != y )
 502                 z = -z; /* odd exponent */
 503         }
 504
 505 return( z );
 506 }
 507
 508
 509 /* Find a multiple of 1/NXT that is within 1/NXT of x. */
 510 static inline long double
 511 reducl(long double x)
 512 {
 513 long double t;
 514
 515 t = ldexpl( x, LNXT );
 516 t = floorl( t );
 517 t = ldexpl( t, -LNXT );
 518 return(t);
 519 }
 520
 521 /*                                                      powil.c
 522  *
 523  *      Real raised to integer power, long double precision
 524  *
 525  *
 526  *
 527  * SYNOPSIS:
 528  *
 529  * long double x, y, powil();
 530  * int n;
 531  *
 532  * y = powil( x, n );
 533  *
 534  *
 535  *
 536  * DESCRIPTION:
 537  *
 538  * Returns argument x raised to the nth power.
 539  * The routine efficiently decomposes n as a sum of powers of
 540  * two. The desired power is a product of two-to-the-kth
 541  * powers of x.  Thus to compute the 32767 power of x requires
 542  * 28 multiplications instead of 32767 multiplications.
 543  *
 544  *
 545  *
 546  * ACCURACY:
 547  *
 548  *
 549  *                      Relative error:
 550  * arithmetic   x domain   n domain  # trials      peak         rms
 551  *    IEEE     .001,1000  -1022,1023  50000       4.3e-17     7.8e-18
 552  *    IEEE        1,2     -1022,1023  20000       3.9e-17     7.6e-18
 553  *    IEEE     .99,1.01     0,8700    10000       3.6e-16     7.2e-17
 554  *
 555  * Returns MAXNUM on overflow, zero on underflow.
 556  *
 557  */
 558
 559 static long double
 560 powil(long double x, int nn)
 561 {
 562 long double ww, y;
 563 long double s;
 564 int n, e, sign, asign, lx;
 565
 566 if( x == 0.0L )
 567         {
 568         if( nn == 0 )
 569                 return( 1.0L );
 570         else if( nn < 0 )
 571                 return( LDBL_MAX );
 572         else
 573                 return( 0.0L );
 574         }
 575
 576 if( nn == 0 )
 577         return( 1.0L );
 578
 579
 580 if( x < 0.0L )
 581         {
 582         asign = -1;
 583         x = -x;
 584         }
 585 else
 586         asign = 0;
 587
 588
 589 if( nn < 0 )
 590         {
 591         sign = -1;
 592         n = -nn;
 593         }
 594 else
 595         {
 596         sign = 1;
 597         n = nn;
 598         }
 599
 600 /* Overflow detection */
 601
 602 /* Calculate approximate logarithm of answer */
 603 s = x;
 604 s = frexpl( s, &lx );
 605 e = (lx - 1)*n;
 606 if( (e == 0) || (e > 64) || (e < -64) )
 607         {
 608         s = (s - 7.0710678118654752e-1L) / (s +  7.0710678118654752e-1L);
 609         s = (2.9142135623730950L * s - 0.5L + lx) * nn * LOGE2L;
 610         }
 611 else
 612         {
 613         s = LOGE2L * e;
 614         }
 615
 616 if( s > MAXLOGL )
 617         return (huge * huge);           /* overflow */
 618
 619 if( s < MINLOGL )
 620         return (twom10000 * twom10000); /* underflow */
 621 /* Handle tiny denormal answer, but with less accuracy
 622  * since roundoff error in 1.0/x will be amplified.
 623  * The precise demarcation should be the gradual underflow threshold.
 624  */
 625 if( s < (-MAXLOGL+2.0L) )
 626         {
 627         x = 1.0L/x;
 628         sign = -sign;
 629         }
 630
 631 /* First bit of the power */
 632 if( n & 1 )
 633         y = x;
 634
 635 else
 636         {
 637         y = 1.0L;
 638         asign = 0;
 639         }
 640
 641 ww = x;
 642 n >>= 1;
 643 while( n )
 644         {
 645         ww = ww * ww;   /* arg to the 2-to-the-kth power */
 646         if( n & 1 )     /* if that bit is set, then include in product */
 647                 y *= ww;
 648         n >>= 1;
 649         }
 650
 651 if( asign )
 652         y = -y; /* odd power of negative number */
 653 if( sign < 0 )
 654         y = 1.0L/y;
 655 return(y);
 656 }