lib/msun/ld80/s_expl.c

   1 /*-
   2  * SPDX-License-Identifier: BSD-2-Clause
   3  *
   4  * Copyright (c) 2009-2013 Steven G. Kargl
   5  * All rights reserved.
   6  *
   7  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   8  * modification, are permitted provided that the following conditions
   9  * are met:
  10  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
  11  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  12  *    disclaimer.
  13  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  14  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  15  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  16  *
  17  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  18  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  19  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  20  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  21  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  22  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  23  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  24  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  25  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  26  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  27  *
  28  * Optimized by Bruce D. Evans.
  29  */
  30
  31 #include <sys/cdefs.h>
  32 /**
  33  * Compute the exponential of x for Intel 80-bit format.  This is based on:
  34  *
  35  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the exponential function
  36  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 15,
  37  *   144-157 (1989).
  38  *
  39  * where the 32 table entries have been expanded to INTERVALS (see below).
  40  */
  41
  42 #include <float.h>
  43
  44 #ifdef __i386__
  45 #include <ieeefp.h>
  46 #endif
  47
  48 #include "fpmath.h"
  49 #include "math.h"
  50 #include "math_private.h"
  51 #include "k_expl.h"
  52
  53 /* XXX Prevent compilers from erroneously constant folding these: */
  54 static const volatile long double
  55 huge = 0x1p10000L,
  56 tiny = 0x1p-10000L;
  57
  58 static const long double
  59 twom10000 = 0x1p-10000L;
  60
  61 static const union IEEEl2bits
  62 /* log(2**16384 - 0.5) rounded towards zero: */
  63 /* log(2**16384 - 0.5 + 1) rounded towards zero for expm1l() is the same: */
  64 o_thresholdu = LD80C(0xb17217f7d1cf79ab, 13,  11356.5234062941439488L),
  65 #define o_threshold      (o_thresholdu.e)
  66 /* log(2**(-16381-64-1)) rounded towards zero: */
  67 u_thresholdu = LD80C(0xb21dfe7f09e2baa9, 13, -11399.4985314888605581L);
  68 #define u_threshold      (u_thresholdu.e)
  69
  70 long double
  71 expl(long double x)
  72 {
  73         union IEEEl2bits u;
  74         long double hi, lo, t, twopk;
  75         int k;
  76         uint16_t hx, ix;
  77
  78         /* Filter out exceptional cases. */
  79         u.e = x;
  80         hx = u.xbits.expsign;
  81         ix = hx & 0x7fff;
  82         if (ix >= BIAS + 13) {          /* |x| >= 8192 or x is NaN */
  83                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
  84                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
  85                                 RETURNF(-1 / x);
  86                         RETURNF(x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
  87                 }
  88                 if (x > o_threshold)
  89                         RETURNF(huge * huge);
  90                 if (x < u_threshold)
  91                         RETURNF(tiny * tiny);
  92         } else if (ix < BIAS - 75) {    /* |x| < 0x1p-75 (includes pseudos) */
  93                 RETURNF(1 + x);         /* 1 with inexact iff x != 0 */
  94         }
  95
  96         ENTERI();
  97
  98         twopk = 1;
  99         __k_expl(x, &hi, &lo, &k);
 100         t = SUM2P(hi, lo);
 101
 102         /* Scale by 2**k. */
 103         if (k >= LDBL_MIN_EXP) {
 104                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 105                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L);
 106                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k);
 107                 RETURNI(t * twopk);
 108         } else {
 109                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k + 10000);
 110                 RETURNI(t * twopk * twom10000);
 111         }
 112 }
 113
 114 /**
 115  * Compute expm1l(x) for Intel 80-bit format.  This is based on:
 116  *
 117  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the Expm1 function
 118  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 18,
 119  *   211-222 (1992).
 120  */
 121
 122 /*
 123  * Our T1 and T2 are chosen to be approximately the points where method
 124  * A and method B have the same accuracy.  Tang's T1 and T2 are the
 125  * points where method A's accuracy changes by a full bit.  For Tang,
 126  * this drop in accuracy makes method A immediately less accurate than
 127  * method B, but our larger INTERVALS makes method A 2 bits more
 128  * accurate so it remains the most accurate method significantly
 129  * closer to the origin despite losing the full bit in our extended
 130  * range for it.
 131  */
 132 static const double
 133 T1 = -0.1659,                           /* ~-30.625/128 * log(2) */
 134 T2 =  0.1659;                           /* ~30.625/128 * log(2) */
 135
 136 /*
 137  * Domain [-0.1659, 0.1659], range ~[-2.6155e-22, 2.5507e-23]:
 138  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| < 2**-71.6
 139  *
 140  * XXX the coeffs aren't very carefully rounded, and I get 2.8 more bits,
 141  * but unlike for ld128 we can't drop any terms.
 142  */
 143 static const union IEEEl2bits
 144 B3 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaab, -3,  1.66666666666666666671e-1L),
 145 B4 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaac, -5,  4.16666666666666666712e-2L);
 146
 147 static const double
 148 B5  =  8.3333333333333245e-3,           /*  0x1.111111111110cp-7 */
 149 B6  =  1.3888888888888861e-3,           /*  0x1.6c16c16c16c0ap-10 */
 150 B7  =  1.9841269841532042e-4,           /*  0x1.a01a01a0319f9p-13 */
 151 B8  =  2.4801587302069236e-5,           /*  0x1.a01a01a03cbbcp-16 */
 152 B9  =  2.7557316558468562e-6,           /*  0x1.71de37fd33d67p-19 */
 153 B10 =  2.7557315829785151e-7,           /*  0x1.27e4f91418144p-22 */
 154 B11 =  2.5063168199779829e-8,           /*  0x1.ae94fabdc6b27p-26 */
 155 B12 =  2.0887164654459567e-9;           /*  0x1.1f122d6413fe1p-29 */
 156
 157 long double
 158 expm1l(long double x)
 159 {
 160         union IEEEl2bits u, v;
 161         long double fn, hx2_hi, hx2_lo, q, r, r1, r2, t, twomk, twopk, x_hi;
 162         long double x_lo, x2, z;
 163         long double x4;
 164         int k, n, n2;
 165         uint16_t hx, ix;
 166
 167         /* Filter out exceptional cases. */
 168         u.e = x;
 169         hx = u.xbits.expsign;
 170         ix = hx & 0x7fff;
 171         if (ix >= BIAS + 6) {           /* |x| >= 64 or x is NaN */
 172                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
 173                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
 174                                 RETURNF(-1 / x - 1);
 175                         RETURNF(x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
 176                 }
 177                 if (x > o_threshold)
 178                         RETURNF(huge * huge);
 179                 /*
 180                  * expm1l() never underflows, but it must avoid
 181                  * unrepresentable large negative exponents.  We used a
 182                  * much smaller threshold for large |x| above than in
 183                  * expl() so as to handle not so large negative exponents
 184                  * in the same way as large ones here.
 185                  */
 186                 if (hx & 0x8000)        /* x <= -64 */
 187                         RETURNF(tiny - 1);      /* good for x < -65ln2 - eps */
 188         }
 189
 190         ENTERI();
 191
 192         if (T1 < x && x < T2) {
 193                 if (ix < BIAS - 74) {   /* |x| < 0x1p-74 (includes pseudos) */
 194                         /* x (rounded) with inexact if x != 0: */
 195                         RETURNI(x == 0 ? x :
 196                             (0x1p100 * x + fabsl(x)) * 0x1p-100);
 197                 }
 198
 199                 x2 = x * x;
 200                 x4 = x2 * x2;
 201                 q = x4 * (x2 * (x4 *
 202                     /*
 203                      * XXX the number of terms is no longer good for
 204                      * pairwise grouping of all except B3, and the
 205                      * grouping is no longer from highest down.
 206                      */
 207                     (x2 *            B12  + (x * B11 + B10)) +
 208                     (x2 * (x * B9 +  B8) +  (x * B7 +  B6))) +
 209                           (x * B5 +  B4.e)) + x2 * x * B3.e;
 210
 211                 x_hi = (float)x;
 212                 x_lo = x - x_hi;
 213                 hx2_hi = x_hi * x_hi / 2;
 214                 hx2_lo = x_lo * (x + x_hi) / 2;
 215                 if (ix >= BIAS - 7)
 216                         RETURNI((hx2_hi + x_hi) + (hx2_lo + x_lo + q));
 217                 else
 218                         RETURNI(x + (hx2_lo + q + hx2_hi));
 219         }
 220
 221         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 222         fn = rnintl(x * INV_L);
 223         n = irint(fn);
 224         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 225         k = n >> LOG2_INTERVALS;
 226         r1 = x - fn * L1;
 227         r2 = fn * -L2;
 228         r = r1 + r2;
 229
 230         /* Prepare scale factor. */
 231         v.e = 1;
 232         v.xbits.expsign = BIAS + k;
 233         twopk = v.e;
 234
 235         /*
 236          * Evaluate lower terms of
 237          * expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2).
 238          */
 239         z = r * r;
 240         q = r2 + z * (A2 + r * A3) + z * z * (A4 + r * A5) + z * z * z * A6;
 241
 242         t = (long double)tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 243
 244         if (k == 0) {
 245                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 1, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 246                     tbl[n2].hi * r1);
 247                 RETURNI(t);
 248         }
 249         if (k == -1) {
 250                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 2, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 251                     tbl[n2].hi * r1);
 252                 RETURNI(t / 2);
 253         }
 254         if (k < -7) {
 255                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 256                 RETURNI(t * twopk - 1);
 257         }
 258         if (k > 2 * LDBL_MANT_DIG - 1) {
 259                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 260                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 261                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L - 1);
 262                 RETURNI(t * twopk - 1);
 263         }
 264
 265         v.xbits.expsign = BIAS - k;
 266         twomk = v.e;
 267
 268         if (k > LDBL_MANT_DIG - 1)
 269                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo - twomk + t * (q + r1));
 270         else
 271                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - twomk, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 272         RETURNI(t * twopk);
 273 }