lib/msun/ld80/s_logl.c

   1 /*-
   2  * SPDX-License-Identifier: BSD-2-Clause-FreeBSD
   3  *
   4  * Copyright (c) 2007-2013 Bruce D. Evans
   5  * All rights reserved.
   6  *
   7  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   8  * modification, are permitted provided that the following conditions
   9  * are met:
  10  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
  11  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  12  *    disclaimer.
  13  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  14  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  15  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  16  *
  17  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  18  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  19  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  20  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  21  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  22  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  23  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  24  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  25  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  26  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  27  */
  28
  29 #include <sys/cdefs.h>
  30 __FBSDID("$FreeBSD$");
  31
  32 /**
  33  * Implementation of the natural logarithm of x for Intel 80-bit format.
  34  *
  35  * First decompose x into its base 2 representation:
  36  *
  37  *    log(x) = log(X * 2**k), where X is in [1, 2)
  38  *           = log(X) + k * log(2).
  39  *
  40  * Let X = X_i + e, where X_i is the center of one of the intervals
  41  * [-1.0/256, 1.0/256), [1.0/256, 3.0/256), .... [2.0-1.0/256, 2.0+1.0/256)
  42  * and X is in this interval.  Then
  43  *
  44  *    log(X) = log(X_i + e)
  45  *           = log(X_i * (1 + e / X_i))
  46  *           = log(X_i) + log(1 + e / X_i).
  47  *
  48  * The values log(X_i) are tabulated below.  Let d = e / X_i and use
  49  *
  50  *    log(1 + d) = p(d)
  51  *
  52  * where p(d) = d - 0.5*d*d + ... is a special minimax polynomial of
  53  * suitably high degree.
  54  *
  55  * To get sufficiently small roundoff errors, k * log(2), log(X_i), and
  56  * sometimes (if |k| is not large) the first term in p(d) must be evaluated
  57  * and added up in extra precision.  Extra precision is not needed for the
  58  * rest of p(d).  In the worst case when k = 0 and log(X_i) is 0, the final
  59  * error is controlled mainly by the error in the second term in p(d).  The
  60  * error in this term itself is at most 0.5 ulps from the d*d operation in
  61  * it.  The error in this term relative to the first term is thus at most
  62  * 0.5 * |-0.5| * |d| < 1.0/1024 ulps.  We aim for an accumulated error of
  63  * at most twice this at the point of the final rounding step.  Thus the
  64  * final error should be at most 0.5 + 1.0/512 = 0.5020 ulps.  Exhaustive
  65  * testing of a float variant of this function showed a maximum final error
  66  * of 0.5008 ulps.  Non-exhaustive testing of a double variant of this
  67  * function showed a maximum final error of 0.5078 ulps (near 1+1.0/256).
  68  *
  69  * We made the maximum of |d| (and thus the total relative error and the
  70  * degree of p(d)) small by using a large number of intervals.  Using
  71  * centers of intervals instead of endpoints reduces this maximum by a
  72  * factor of 2 for a given number of intervals.  p(d) is special only
  73  * in beginning with the Taylor coefficients 0 + 1*d, which tends to happen
  74  * naturally.  The most accurate minimax polynomial of a given degree might
  75  * be different, but then we wouldn't want it since we would have to do
  76  * extra work to avoid roundoff error (especially for P0*d instead of d).
  77  */
  78
  79 #ifdef DEBUG
  80 #include <assert.h>
  81 #include <fenv.h>
  82 #endif
  83
  84 #ifdef __i386__
  85 #include <ieeefp.h>
  86 #endif
  87
  88 #include "fpmath.h"
  89 #include "math.h"
  90 #define i386_SSE_GOOD
  91 #ifndef NO_STRUCT_RETURN
  92 #define STRUCT_RETURN
  93 #endif
  94 #include "math_private.h"
  95
  96 #if !defined(NO_UTAB) && !defined(NO_UTABL)
  97 #define USE_UTAB
  98 #endif
  99
 100 /*
 101  * Domain [-0.005280, 0.004838], range ~[-5.1736e-22, 5.1738e-22]:
 102  * |log(1 + d)/d - p(d)| < 2**-70.7
 103  */
 104 static const double
 105 P2 = -0.5,
 106 P3 =  3.3333333333333359e-1,            /*  0x1555555555555a.0p-54 */
 107 P4 = -2.5000000000004424e-1,            /* -0x1000000000031d.0p-54 */
 108 P5 =  1.9999999992970016e-1,            /*  0x1999999972f3c7.0p-55 */
 109 P6 = -1.6666666072191585e-1,            /* -0x15555548912c09.0p-55 */
 110 P7 =  1.4286227413310518e-1,            /*  0x12494f9d9def91.0p-55 */
 111 P8 = -1.2518388626763144e-1;            /* -0x1006068cc0b97c.0p-55 */
 112
 113 static volatile const double zero = 0;
 114
 115 #define INTERVALS       128
 116 #define LOG2_INTERVALS  7
 117 #define TSIZE           (INTERVALS + 1)
 118 #define G(i)            (T[(i)].G)
 119 #define F_hi(i)         (T[(i)].F_hi)
 120 #define F_lo(i)         (T[(i)].F_lo)
 121 #define ln2_hi          F_hi(TSIZE - 1)
 122 #define ln2_lo          F_lo(TSIZE - 1)
 123 #define E(i)            (U[(i)].E)
 124 #define H(i)            (U[(i)].H)
 125
 126 static const struct {
 127         float   G;                      /* 1/(1 + i/128) rounded to 8/9 bits */
 128         float   F_hi;                   /* log(1 / G_i) rounded (see below) */
 129         double  F_lo;                   /* next 53 bits for log(1 / G_i) */
 130 } T[TSIZE] = {
 131         /*
 132          * ln2_hi and each F_hi(i) are rounded to a number of bits that
 133          * makes F_hi(i) + dk*ln2_hi exact for all i and all dk.
 134          *
 135          * The last entry (for X just below 2) is used to define ln2_hi
 136          * and ln2_lo, to ensure that F_hi(i) and F_lo(i) cancel exactly
 137          * with dk*ln2_hi and dk*ln2_lo, respectively, when dk = -1.
 138          * This is needed for accuracy when x is just below 1.  (To avoid
 139          * special cases, such x are "reduced" strangely to X just below
 140          * 2 and dk = -1, and then the exact cancellation is needed
 141          * because any the error from any non-exactness would be too
 142          * large).
 143          *
 144          * We want to share this table between double precision and ld80,
 145          * so the relevant range of dk is the larger one of ld80
 146          * ([-16445, 16383]) and the relevant exactness requirement is
 147          * the stricter one of double precision.  The maximum number of
 148          * bits in F_hi(i) that works is very dependent on i but has
 149          * a minimum of 33.  We only need about 12 bits in F_hi(i) for
 150          * it to provide enough extra precision in double precision (11
 151          * more than that are required for ld80).
 152          *
 153          * We round F_hi(i) to 24 bits so that it can have type float,
 154          * mainly to minimize the size of the table.  Using all 24 bits
 155          * in a float for it automatically satisfies the above constraints.
 156          */
 157          { 0x800000.0p-23,  0,               0 },
 158          { 0xfe0000.0p-24,  0x8080ac.0p-30, -0x14ee431dae6675.0p-84 },
 159          { 0xfc0000.0p-24,  0x8102b3.0p-29, -0x1db29ee2d83718.0p-84 },
 160          { 0xfa0000.0p-24,  0xc24929.0p-29,  0x1191957d173698.0p-83 },
 161          { 0xf80000.0p-24,  0x820aec.0p-28,  0x13ce8888e02e79.0p-82 },
 162          { 0xf60000.0p-24,  0xa33577.0p-28, -0x17a4382ce6eb7c.0p-82 },
 163          { 0xf48000.0p-24,  0xbc42cb.0p-28, -0x172a21161a1076.0p-83 },
 164          { 0xf30000.0p-24,  0xd57797.0p-28, -0x1e09de07cb9589.0p-82 },
 165          { 0xf10000.0p-24,  0xf7518e.0p-28,  0x1ae1eec1b036c5.0p-91 },
 166          { 0xef0000.0p-24,  0x8cb9df.0p-27, -0x1d7355325d560e.0p-81 },
 167          { 0xed8000.0p-24,  0x999ec0.0p-27, -0x1f9f02d256d503.0p-82 },
 168          { 0xec0000.0p-24,  0xa6988b.0p-27, -0x16fc0a9d12c17a.0p-83 },
 169          { 0xea0000.0p-24,  0xb80698.0p-27,  0x15d581c1e8da9a.0p-81 },
 170          { 0xe80000.0p-24,  0xc99af3.0p-27, -0x1535b3ba8f150b.0p-83 },
 171          { 0xe70000.0p-24,  0xd273b2.0p-27,  0x163786f5251af0.0p-85 },
 172          { 0xe50000.0p-24,  0xe442c0.0p-27,  0x1bc4b2368e32d5.0p-84 },
 173          { 0xe38000.0p-24,  0xf1b83f.0p-27,  0x1c6090f684e676.0p-81 },
 174          { 0xe20000.0p-24,  0xff448a.0p-27, -0x1890aa69ac9f42.0p-82 },
 175          { 0xe08000.0p-24,  0x8673f6.0p-26,  0x1b9985194b6b00.0p-80 },
 176          { 0xdf0000.0p-24,  0x8d515c.0p-26, -0x1dc08d61c6ef1e.0p-83 },
 177          { 0xdd8000.0p-24,  0x943a9e.0p-26, -0x1f72a2dac729b4.0p-82 },
 178          { 0xdc0000.0p-24,  0x9b2fe6.0p-26, -0x1fd4dfd3a0afb9.0p-80 },
 179          { 0xda8000.0p-24,  0xa2315d.0p-26, -0x11b26121629c47.0p-82 },
 180          { 0xd90000.0p-24,  0xa93f2f.0p-26,  0x1286d633e8e569.0p-81 },
 181          { 0xd78000.0p-24,  0xb05988.0p-26,  0x16128eba936770.0p-84 },
 182          { 0xd60000.0p-24,  0xb78094.0p-26,  0x16ead577390d32.0p-80 },
 183          { 0xd50000.0p-24,  0xbc4c6c.0p-26,  0x151131ccf7c7b7.0p-81 },
 184          { 0xd38000.0p-24,  0xc3890a.0p-26, -0x115e2cd714bd06.0p-80 },
 185          { 0xd20000.0p-24,  0xcad2d7.0p-26, -0x1847f406ebd3b0.0p-82 },
 186          { 0xd10000.0p-24,  0xcfb620.0p-26,  0x1c2259904d6866.0p-81 },
 187          { 0xcf8000.0p-24,  0xd71653.0p-26,  0x1ece57a8d5ae55.0p-80 },
 188          { 0xce0000.0p-24,  0xde843a.0p-26, -0x1f109d4bc45954.0p-81 },
 189          { 0xcd0000.0p-24,  0xe37fde.0p-26,  0x1bc03dc271a74d.0p-81 },
 190          { 0xcb8000.0p-24,  0xeb050c.0p-26, -0x1bf2badc0df842.0p-85 },
 191          { 0xca0000.0p-24,  0xf29878.0p-26, -0x18efededd89fbe.0p-87 },
 192          { 0xc90000.0p-24,  0xf7ad6f.0p-26,  0x1373ff977baa69.0p-81 },
 193          { 0xc80000.0p-24,  0xfcc8e3.0p-26,  0x196766f2fb3283.0p-80 },
 194          { 0xc68000.0p-24,  0x823f30.0p-25,  0x19bd076f7c434e.0p-79 },
 195          { 0xc58000.0p-24,  0x84d52c.0p-25, -0x1a327257af0f46.0p-79 },
 196          { 0xc40000.0p-24,  0x88bc74.0p-25,  0x113f23def19c5a.0p-81 },
 197          { 0xc30000.0p-24,  0x8b5ae6.0p-25,  0x1759f6e6b37de9.0p-79 },
 198          { 0xc20000.0p-24,  0x8dfccb.0p-25,  0x1ad35ca6ed5148.0p-81 },
 199          { 0xc10000.0p-24,  0x90a22b.0p-25,  0x1a1d71a87deba4.0p-79 },
 200          { 0xbf8000.0p-24,  0x94a0d8.0p-25, -0x139e5210c2b731.0p-80 },
 201          { 0xbe8000.0p-24,  0x974f16.0p-25, -0x18f6ebcff3ed73.0p-81 },
 202          { 0xbd8000.0p-24,  0x9a00f1.0p-25, -0x1aa268be39aab7.0p-79 },
 203          { 0xbc8000.0p-24,  0x9cb672.0p-25, -0x14c8815839c566.0p-79 },
 204          { 0xbb0000.0p-24,  0xa0cda1.0p-25,  0x1eaf46390dbb24.0p-81 },
 205          { 0xba0000.0p-24,  0xa38c6e.0p-25,  0x138e20d831f698.0p-81 },
 206          { 0xb90000.0p-24,  0xa64f05.0p-25, -0x1e8d3c41123616.0p-82 },
 207          { 0xb80000.0p-24,  0xa91570.0p-25,  0x1ce28f5f3840b2.0p-80 },
 208          { 0xb70000.0p-24,  0xabdfbb.0p-25, -0x186e5c0a424234.0p-79 },
 209          { 0xb60000.0p-24,  0xaeadef.0p-25, -0x14d41a0b2a08a4.0p-83 },
 210          { 0xb50000.0p-24,  0xb18018.0p-25,  0x16755892770634.0p-79 },
 211          { 0xb40000.0p-24,  0xb45642.0p-25, -0x16395ebe59b152.0p-82 },
 212          { 0xb30000.0p-24,  0xb73077.0p-25,  0x1abc65c8595f09.0p-80 },
 213          { 0xb20000.0p-24,  0xba0ec4.0p-25, -0x1273089d3dad89.0p-79 },
 214          { 0xb10000.0p-24,  0xbcf133.0p-25,  0x10f9f67b1f4bbf.0p-79 },
 215          { 0xb00000.0p-24,  0xbfd7d2.0p-25, -0x109fab90486409.0p-80 },
 216          { 0xaf0000.0p-24,  0xc2c2ac.0p-25, -0x1124680aa43333.0p-79 },
 217          { 0xae8000.0p-24,  0xc439b3.0p-25, -0x1f360cc4710fc0.0p-80 },
 218          { 0xad8000.0p-24,  0xc72afd.0p-25, -0x132d91f21d89c9.0p-80 },
 219          { 0xac8000.0p-24,  0xca20a2.0p-25, -0x16bf9b4d1f8da8.0p-79 },
 220          { 0xab8000.0p-24,  0xcd1aae.0p-25,  0x19deb5ce6a6a87.0p-81 },
 221          { 0xaa8000.0p-24,  0xd0192f.0p-25,  0x1a29fb48f7d3cb.0p-79 },
 222          { 0xaa0000.0p-24,  0xd19a20.0p-25,  0x1127d3c6457f9d.0p-81 },
 223          { 0xa90000.0p-24,  0xd49f6a.0p-25, -0x1ba930e486a0ac.0p-81 },
 224          { 0xa80000.0p-24,  0xd7a94b.0p-25, -0x1b6e645f31549e.0p-79 },
 225          { 0xa70000.0p-24,  0xdab7d0.0p-25,  0x1118a425494b61.0p-80 },
 226          { 0xa68000.0p-24,  0xdc40d5.0p-25,  0x1966f24d29d3a3.0p-80 },
 227          { 0xa58000.0p-24,  0xdf566d.0p-25, -0x1d8e52eb2248f1.0p-82 },
 228          { 0xa48000.0p-24,  0xe270ce.0p-25, -0x1ee370f96e6b68.0p-80 },
 229          { 0xa40000.0p-24,  0xe3ffce.0p-25,  0x1d155324911f57.0p-80 },
 230          { 0xa30000.0p-24,  0xe72179.0p-25, -0x1fe6e2f2f867d9.0p-80 },
 231          { 0xa20000.0p-24,  0xea4812.0p-25,  0x1b7be9add7f4d4.0p-80 },
 232          { 0xa18000.0p-24,  0xebdd3d.0p-25,  0x1b3cfb3f7511dd.0p-79 },
 233          { 0xa08000.0p-24,  0xef0b5b.0p-25, -0x1220de1f730190.0p-79 },
 234          { 0xa00000.0p-24,  0xf0a451.0p-25, -0x176364c9ac81cd.0p-80 },
 235          { 0x9f0000.0p-24,  0xf3da16.0p-25,  0x1eed6b9aafac8d.0p-81 },
 236          { 0x9e8000.0p-24,  0xf576e9.0p-25,  0x1d593218675af2.0p-79 },
 237          { 0x9d8000.0p-24,  0xf8b47c.0p-25, -0x13e8eb7da053e0.0p-84 },
 238          { 0x9d0000.0p-24,  0xfa553f.0p-25,  0x1c063259bcade0.0p-79 },
 239          { 0x9c0000.0p-24,  0xfd9ac5.0p-25,  0x1ef491085fa3c1.0p-79 },
 240          { 0x9b8000.0p-24,  0xff3f8c.0p-25,  0x1d607a7c2b8c53.0p-79 },
 241          { 0x9a8000.0p-24,  0x814697.0p-24, -0x12ad3817004f3f.0p-78 },
 242          { 0x9a0000.0p-24,  0x821b06.0p-24, -0x189fc53117f9e5.0p-81 },
 243          { 0x990000.0p-24,  0x83c5f8.0p-24,  0x14cf15a048907b.0p-79 },
 244          { 0x988000.0p-24,  0x849c7d.0p-24,  0x1cbb1d35fb8287.0p-78 },
 245          { 0x978000.0p-24,  0x864ba6.0p-24,  0x1128639b814f9c.0p-78 },
 246          { 0x970000.0p-24,  0x87244c.0p-24,  0x184733853300f0.0p-79 },
 247          { 0x968000.0p-24,  0x87fdaa.0p-24,  0x109d23aef77dd6.0p-80 },
 248          { 0x958000.0p-24,  0x89b293.0p-24, -0x1a81ef367a59de.0p-78 },
 249          { 0x950000.0p-24,  0x8a8e20.0p-24, -0x121ad3dbb2f452.0p-78 },
 250          { 0x948000.0p-24,  0x8b6a6a.0p-24, -0x1cfb981628af72.0p-79 },
 251          { 0x938000.0p-24,  0x8d253a.0p-24, -0x1d21730ea76cfe.0p-79 },
 252          { 0x930000.0p-24,  0x8e03c2.0p-24,  0x135cc00e566f77.0p-78 },
 253          { 0x928000.0p-24,  0x8ee30d.0p-24, -0x10fcb5df257a26.0p-80 },
 254          { 0x918000.0p-24,  0x90a3ee.0p-24, -0x16e171b15433d7.0p-79 },
 255          { 0x910000.0p-24,  0x918587.0p-24, -0x1d050da07f3237.0p-79 },
 256          { 0x908000.0p-24,  0x9267e7.0p-24,  0x1be03669a5268d.0p-79 },
 257          { 0x8f8000.0p-24,  0x942f04.0p-24,  0x10b28e0e26c337.0p-79 },
 258          { 0x8f0000.0p-24,  0x9513c3.0p-24,  0x1a1d820da57cf3.0p-78 },
 259          { 0x8e8000.0p-24,  0x95f950.0p-24, -0x19ef8f13ae3cf1.0p-79 },
 260          { 0x8e0000.0p-24,  0x96dfab.0p-24, -0x109e417a6e507c.0p-78 },
 261          { 0x8d0000.0p-24,  0x98aed2.0p-24,  0x10d01a2c5b0e98.0p-79 },
 262          { 0x8c8000.0p-24,  0x9997a2.0p-24, -0x1d6a50d4b61ea7.0p-78 },
 263          { 0x8c0000.0p-24,  0x9a8145.0p-24,  0x1b3b190b83f952.0p-78 },
 264          { 0x8b8000.0p-24,  0x9b6bbf.0p-24,  0x13a69fad7e7abe.0p-78 },
 265          { 0x8b0000.0p-24,  0x9c5711.0p-24, -0x11cd12316f576b.0p-78 },
 266          { 0x8a8000.0p-24,  0x9d433b.0p-24,  0x1c95c444b807a2.0p-79 },
 267          { 0x898000.0p-24,  0x9f1e22.0p-24, -0x1b9c224ea698c3.0p-79 },
 268          { 0x890000.0p-24,  0xa00ce1.0p-24,  0x125ca93186cf0f.0p-81 },
 269          { 0x888000.0p-24,  0xa0fc80.0p-24, -0x1ee38a7bc228b3.0p-79 },
 270          { 0x880000.0p-24,  0xa1ed00.0p-24, -0x1a0db876613d20.0p-78 },
 271          { 0x878000.0p-24,  0xa2de62.0p-24,  0x193224e8516c01.0p-79 },
 272          { 0x870000.0p-24,  0xa3d0a9.0p-24,  0x1fa28b4d2541ad.0p-79 },
 273          { 0x868000.0p-24,  0xa4c3d6.0p-24,  0x1c1b5760fb4572.0p-78 },
 274          { 0x858000.0p-24,  0xa6acea.0p-24,  0x1fed5d0f65949c.0p-80 },
 275          { 0x850000.0p-24,  0xa7a2d4.0p-24,  0x1ad270c9d74936.0p-80 },
 276          { 0x848000.0p-24,  0xa899ab.0p-24,  0x199ff15ce53266.0p-79 },
 277          { 0x840000.0p-24,  0xa99171.0p-24,  0x1a19e15ccc45d2.0p-79 },
 278          { 0x838000.0p-24,  0xaa8a28.0p-24, -0x121a14ec532b36.0p-80 },
 279          { 0x830000.0p-24,  0xab83d1.0p-24,  0x1aee319980bff3.0p-79 },
 280          { 0x828000.0p-24,  0xac7e6f.0p-24, -0x18ffd9e3900346.0p-80 },
 281          { 0x820000.0p-24,  0xad7a03.0p-24, -0x1e4db102ce29f8.0p-80 },
 282          { 0x818000.0p-24,  0xae768f.0p-24,  0x17c35c55a04a83.0p-81 },
 283          { 0x810000.0p-24,  0xaf7415.0p-24,  0x1448324047019b.0p-78 },
 284          { 0x808000.0p-24,  0xb07298.0p-24, -0x1750ee3915a198.0p-78 },
 285          { 0x800000.0p-24,  0xb17218.0p-24, -0x105c610ca86c39.0p-81 },
 286 };
 287
 288 #ifdef USE_UTAB
 289 static const struct {
 290         float   H;                      /* 1 + i/INTERVALS (exact) */
 291         float   E;                      /* H(i) * G(i) - 1 (exact) */
 292 } U[TSIZE] = {
 293          { 0x800000.0p-23,  0 },
 294          { 0x810000.0p-23, -0x800000.0p-37 },
 295          { 0x820000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 296          { 0x830000.0p-23, -0x900000.0p-34 },
 297          { 0x840000.0p-23, -0x800000.0p-33 },
 298          { 0x850000.0p-23, -0xc80000.0p-33 },
 299          { 0x860000.0p-23, -0xa00000.0p-36 },
 300          { 0x870000.0p-23,  0x940000.0p-33 },
 301          { 0x880000.0p-23,  0x800000.0p-35 },
 302          { 0x890000.0p-23, -0xc80000.0p-34 },
 303          { 0x8a0000.0p-23,  0xe00000.0p-36 },
 304          { 0x8b0000.0p-23,  0x900000.0p-33 },
 305          { 0x8c0000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 306          { 0x8d0000.0p-23, -0xe00000.0p-33 },
 307          { 0x8e0000.0p-23,  0x880000.0p-33 },
 308          { 0x8f0000.0p-23, -0xa80000.0p-34 },
 309          { 0x900000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 310          { 0x910000.0p-23,  0x800000.0p-37 },
 311          { 0x920000.0p-23,  0x900000.0p-35 },
 312          { 0x930000.0p-23,  0xd00000.0p-35 },
 313          { 0x940000.0p-23,  0xe00000.0p-35 },
 314          { 0x950000.0p-23,  0xc00000.0p-35 },
 315          { 0x960000.0p-23,  0xe00000.0p-36 },
 316          { 0x970000.0p-23, -0x800000.0p-38 },
 317          { 0x980000.0p-23, -0xc00000.0p-35 },
 318          { 0x990000.0p-23, -0xd00000.0p-34 },
 319          { 0x9a0000.0p-23,  0x880000.0p-33 },
 320          { 0x9b0000.0p-23,  0xe80000.0p-35 },
 321          { 0x9c0000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 322          { 0x9d0000.0p-23,  0xb40000.0p-33 },
 323          { 0x9e0000.0p-23,  0x880000.0p-34 },
 324          { 0x9f0000.0p-23, -0xe00000.0p-35 },
 325          { 0xa00000.0p-23,  0x800000.0p-33 },
 326          { 0xa10000.0p-23, -0x900000.0p-36 },
 327          { 0xa20000.0p-23, -0xb00000.0p-33 },
 328          { 0xa30000.0p-23, -0xa00000.0p-36 },
 329          { 0xa40000.0p-23,  0x800000.0p-33 },
 330          { 0xa50000.0p-23, -0xf80000.0p-35 },
 331          { 0xa60000.0p-23,  0x880000.0p-34 },
 332          { 0xa70000.0p-23, -0x900000.0p-33 },
 333          { 0xa80000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 334          { 0xa90000.0p-23,  0x900000.0p-34 },
 335          { 0xaa0000.0p-23,  0xa80000.0p-33 },
 336          { 0xab0000.0p-23, -0xac0000.0p-34 },
 337          { 0xac0000.0p-23, -0x800000.0p-37 },
 338          { 0xad0000.0p-23,  0xf80000.0p-35 },
 339          { 0xae0000.0p-23,  0xf80000.0p-34 },
 340          { 0xaf0000.0p-23, -0xac0000.0p-33 },
 341          { 0xb00000.0p-23, -0x800000.0p-33 },
 342          { 0xb10000.0p-23, -0xb80000.0p-34 },
 343          { 0xb20000.0p-23, -0x800000.0p-34 },
 344          { 0xb30000.0p-23, -0xb00000.0p-35 },
 345          { 0xb40000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 346          { 0xb50000.0p-23, -0xe00000.0p-36 },
 347          { 0xb60000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 348          { 0xb70000.0p-23, -0xb00000.0p-35 },
 349          { 0xb80000.0p-23, -0x800000.0p-34 },
 350          { 0xb90000.0p-23, -0xb80000.0p-34 },
 351          { 0xba0000.0p-23, -0x800000.0p-33 },
 352          { 0xbb0000.0p-23, -0xac0000.0p-33 },
 353          { 0xbc0000.0p-23,  0x980000.0p-33 },
 354          { 0xbd0000.0p-23,  0xbc0000.0p-34 },
 355          { 0xbe0000.0p-23,  0xe00000.0p-36 },
 356          { 0xbf0000.0p-23, -0xb80000.0p-35 },
 357          { 0xc00000.0p-23, -0x800000.0p-33 },
 358          { 0xc10000.0p-23,  0xa80000.0p-33 },
 359          { 0xc20000.0p-23,  0x900000.0p-34 },
 360          { 0xc30000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 361          { 0xc40000.0p-23, -0x900000.0p-33 },
 362          { 0xc50000.0p-23,  0x820000.0p-33 },
 363          { 0xc60000.0p-23,  0x800000.0p-38 },
 364          { 0xc70000.0p-23, -0x820000.0p-33 },
 365          { 0xc80000.0p-23,  0x800000.0p-33 },
 366          { 0xc90000.0p-23, -0xa00000.0p-36 },
 367          { 0xca0000.0p-23, -0xb00000.0p-33 },
 368          { 0xcb0000.0p-23,  0x840000.0p-34 },
 369          { 0xcc0000.0p-23, -0xd00000.0p-34 },
 370          { 0xcd0000.0p-23,  0x800000.0p-33 },
 371          { 0xce0000.0p-23, -0xe00000.0p-35 },
 372          { 0xcf0000.0p-23,  0xa60000.0p-33 },
 373          { 0xd00000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 374          { 0xd10000.0p-23,  0xb40000.0p-33 },
 375          { 0xd20000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 376          { 0xd30000.0p-23,  0xaa0000.0p-33 },
 377          { 0xd40000.0p-23, -0xe00000.0p-35 },
 378          { 0xd50000.0p-23,  0x880000.0p-33 },
 379          { 0xd60000.0p-23, -0xd00000.0p-34 },
 380          { 0xd70000.0p-23,  0x9c0000.0p-34 },
 381          { 0xd80000.0p-23, -0xb00000.0p-33 },
 382          { 0xd90000.0p-23, -0x800000.0p-38 },
 383          { 0xda0000.0p-23,  0xa40000.0p-33 },
 384          { 0xdb0000.0p-23, -0xdc0000.0p-34 },
 385          { 0xdc0000.0p-23,  0xc00000.0p-35 },
 386          { 0xdd0000.0p-23,  0xca0000.0p-33 },
 387          { 0xde0000.0p-23, -0xb80000.0p-34 },
 388          { 0xdf0000.0p-23,  0xd00000.0p-35 },
 389          { 0xe00000.0p-23,  0xc00000.0p-33 },
 390          { 0xe10000.0p-23, -0xf40000.0p-34 },
 391          { 0xe20000.0p-23,  0x800000.0p-37 },
 392          { 0xe30000.0p-23,  0x860000.0p-33 },
 393          { 0xe40000.0p-23, -0xc80000.0p-33 },
 394          { 0xe50000.0p-23, -0xa80000.0p-34 },
 395          { 0xe60000.0p-23,  0xe00000.0p-36 },
 396          { 0xe70000.0p-23,  0x880000.0p-33 },
 397          { 0xe80000.0p-23, -0xe00000.0p-33 },
 398          { 0xe90000.0p-23, -0xfc0000.0p-34 },
 399          { 0xea0000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 400          { 0xeb0000.0p-23,  0xe80000.0p-35 },
 401          { 0xec0000.0p-23,  0x900000.0p-33 },
 402          { 0xed0000.0p-23,  0xe20000.0p-33 },
 403          { 0xee0000.0p-23, -0xac0000.0p-33 },
 404          { 0xef0000.0p-23, -0xc80000.0p-34 },
 405          { 0xf00000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 406          { 0xf10000.0p-23,  0x800000.0p-35 },
 407          { 0xf20000.0p-23,  0xb80000.0p-34 },
 408          { 0xf30000.0p-23,  0x940000.0p-33 },
 409          { 0xf40000.0p-23,  0xc80000.0p-33 },
 410          { 0xf50000.0p-23, -0xf20000.0p-33 },
 411          { 0xf60000.0p-23, -0xc80000.0p-33 },
 412          { 0xf70000.0p-23, -0xa20000.0p-33 },
 413          { 0xf80000.0p-23, -0x800000.0p-33 },
 414          { 0xf90000.0p-23, -0xc40000.0p-34 },
 415          { 0xfa0000.0p-23, -0x900000.0p-34 },
 416          { 0xfb0000.0p-23, -0xc80000.0p-35 },
 417          { 0xfc0000.0p-23, -0x800000.0p-35 },
 418          { 0xfd0000.0p-23, -0x900000.0p-36 },
 419          { 0xfe0000.0p-23, -0x800000.0p-37 },
 420          { 0xff0000.0p-23, -0x800000.0p-39 },
 421          { 0x800000.0p-22,  0 },
 422 };
 423 #endif /* USE_UTAB */
 424
 425 #ifdef STRUCT_RETURN
 426 #define RETURN1(rp, v) do {     \
 427         (rp)->hi = (v);         \
 428         (rp)->lo_set = 0;       \
 429         return;                 \
 430 } while (0)
 431
 432 #define RETURN2(rp, h, l) do {  \
 433         (rp)->hi = (h);         \
 434         (rp)->lo = (l);         \
 435         (rp)->lo_set = 1;       \
 436         return;                 \
 437 } while (0)
 438
 439 struct ld {
 440         long double hi;
 441         long double lo;
 442         int     lo_set;
 443 };
 444 #else
 445 #define RETURN1(rp, v)  RETURNF(v)
 446 #define RETURN2(rp, h, l)       RETURNI((h) + (l))
 447 #endif
 448
 449 #ifdef STRUCT_RETURN
 450 static inline __always_inline void
 451 k_logl(long double x, struct ld *rp)
 452 #else
 453 long double
 454 logl(long double x)
 455 #endif
 456 {
 457         long double d, dk, val_hi, val_lo, z;
 458         uint64_t ix, lx;
 459         int i, k;
 460         uint16_t hx;
 461
 462         EXTRACT_LDBL80_WORDS(hx, lx, x);
 463         k = -16383;
 464 #if 0 /* Hard to do efficiently.  Don't do it until we support all modes. */
 465         if (x == 1)
 466                 RETURN1(rp, 0);         /* log(1) = +0 in all rounding modes */
 467 #endif
 468         if (hx == 0 || hx >= 0x8000) {  /* zero, negative or subnormal? */
 469                 if (((hx & 0x7fff) | lx) == 0)
 470                         RETURN1(rp, -1 / zero); /* log(+-0) = -Inf */
 471                 if (hx != 0)
 472                         /* log(neg or [pseudo-]NaN) = qNaN: */
 473                         RETURN1(rp, (x - x) / zero);
 474                 x *= 0x1.0p65;          /* subnormal; scale up x */
 475                                         /* including pseudo-subnormals */
 476                 EXTRACT_LDBL80_WORDS(hx, lx, x);
 477                 k = -16383 - 65;
 478         } else if (hx >= 0x7fff || (lx & 0x8000000000000000ULL) == 0)
 479                 RETURN1(rp, x + x);     /* log(Inf or NaN) = Inf or qNaN */
 480                                         /* log(pseudo-Inf) = qNaN */
 481                                         /* log(pseudo-NaN) = qNaN */
 482                                         /* log(unnormal) = qNaN */
 483 #ifndef STRUCT_RETURN
 484         ENTERI();
 485 #endif
 486         k += hx;
 487         ix = lx & 0x7fffffffffffffffULL;
 488         dk = k;
 489
 490         /* Scale x to be in [1, 2). */
 491         SET_LDBL_EXPSIGN(x, 0x3fff);
 492
 493         /* 0 <= i <= INTERVALS: */
 494 #define L2I     (64 - LOG2_INTERVALS)
 495         i = (ix + (1LL << (L2I - 2))) >> (L2I - 1);
 496
 497         /*
 498          * -0.005280 < d < 0.004838.  In particular, the infinite-
 499          * precision |d| is <= 2**-7.  Rounding of G(i) to 8 bits
 500          * ensures that d is representable without extra precision for
 501          * this bound on |d| (since when this calculation is expressed
 502          * as x*G(i)-1, the multiplication needs as many extra bits as
 503          * G(i) has and the subtraction cancels 8 bits).  But for
 504          * most i (107 cases out of 129), the infinite-precision |d|
 505          * is <= 2**-8.  G(i) is rounded to 9 bits for such i to give
 506          * better accuracy (this works by improving the bound on |d|,
 507          * which in turn allows rounding to 9 bits in more cases).
 508          * This is only important when the original x is near 1 -- it
 509          * lets us avoid using a special method to give the desired
 510          * accuracy for such x.
 511          */
 512         if (0)
 513                 d = x * G(i) - 1;
 514         else {
 515 #ifdef USE_UTAB
 516                 d = (x - H(i)) * G(i) + E(i);
 517 #else
 518                 long double x_hi, x_lo;
 519                 float fx_hi;
 520
 521                 /*
 522                  * Split x into x_hi + x_lo to calculate x*G(i)-1 exactly.
 523                  * G(i) has at most 9 bits, so the splitting point is not
 524                  * critical.
 525                  */
 526                 SET_FLOAT_WORD(fx_hi, (lx >> 40) | 0x3f800000);
 527                 x_hi = fx_hi;
 528                 x_lo = x - x_hi;
 529                 d = x_hi * G(i) - 1 + x_lo * G(i);
 530 #endif
 531         }
 532
 533         /*
 534          * Our algorithm depends on exact cancellation of F_lo(i) and
 535          * F_hi(i) with dk*ln_2_lo and dk*ln2_hi when k is -1 and i is
 536          * at the end of the table.  This and other technical complications
 537          * make it difficult to avoid the double scaling in (dk*ln2) *
 538          * log(base) for base != e without losing more accuracy and/or
 539          * efficiency than is gained.
 540          */
 541         z = d * d;
 542         val_lo = z * d * z * (z * (d * P8 + P7) + (d * P6 + P5)) +
 543             (F_lo(i) + dk * ln2_lo + z * d * (d * P4 + P3)) + z * P2;
 544         val_hi = d;
 545 #ifdef DEBUG
 546         if (fetestexcept(FE_UNDERFLOW))
 547                 breakpoint();
 548 #endif
 549
 550         _3sumF(val_hi, val_lo, F_hi(i) + dk * ln2_hi);
 551         RETURN2(rp, val_hi, val_lo);
 552 }
 553
 554 long double
 555 log1pl(long double x)
 556 {
 557         long double d, d_hi, d_lo, dk, f_lo, val_hi, val_lo, z;
 558         long double f_hi, twopminusk;
 559         uint64_t ix, lx;
 560         int i, k;
 561         int16_t ax, hx;
 562
 563         DOPRINT_START(&x);
 564         EXTRACT_LDBL80_WORDS(hx, lx, x);
 565         if (hx < 0x3fff) {              /* x < 1, or x neg NaN */
 566                 ax = hx & 0x7fff;
 567                 if (ax >= 0x3fff) {     /* x <= -1, or x neg NaN */
 568                         if (ax == 0x3fff && lx == 0x8000000000000000ULL)
 569                                 RETURNP(-1 / zero);     /* log1p(-1) = -Inf */
 570                         /* log1p(x < 1, or x [pseudo-]NaN) = qNaN: */
 571                         RETURNP((x - x) / (x - x));
 572                 }
 573                 if (ax <= 0x3fbe) {     /* |x| < 2**-64 */
 574                         if ((int)x == 0)
 575                                 RETURNP(x);     /* x with inexact if x != 0 */
 576                 }
 577                 f_hi = 1;
 578                 f_lo = x;
 579         } else if (hx >= 0x7fff) {      /* x +Inf or non-neg NaN */
 580                 RETURNP(x + x);         /* log1p(Inf or NaN) = Inf or qNaN */
 581                                         /* log1p(pseudo-Inf) = qNaN */
 582                                         /* log1p(pseudo-NaN) = qNaN */
 583                                         /* log1p(unnormal) = qNaN */
 584         } else if (hx < 0x407f) {       /* 1 <= x < 2**128 */
 585                 f_hi = x;
 586                 f_lo = 1;
 587         } else {                        /* 2**128 <= x < +Inf */
 588                 f_hi = x;
 589                 f_lo = 0;               /* avoid underflow of the P5 term */
 590         }
 591         ENTERI();
 592         x = f_hi + f_lo;
 593         f_lo = (f_hi - x) + f_lo;
 594
 595         EXTRACT_LDBL80_WORDS(hx, lx, x);
 596         k = -16383;
 597
 598         k += hx;
 599         ix = lx & 0x7fffffffffffffffULL;
 600         dk = k;
 601
 602         SET_LDBL_EXPSIGN(x, 0x3fff);
 603         twopminusk = 1;
 604         SET_LDBL_EXPSIGN(twopminusk, 0x7ffe - (hx & 0x7fff));
 605         f_lo *= twopminusk;
 606
 607         i = (ix + (1LL << (L2I - 2))) >> (L2I - 1);
 608
 609         /*
 610          * x*G(i)-1 (with a reduced x) can be represented exactly, as
 611          * above, but now we need to evaluate the polynomial on d =
 612          * (x+f_lo)*G(i)-1 and extra precision is needed for that.
 613          * Since x+x_lo is a hi+lo decomposition and subtracting 1
 614          * doesn't lose too many bits, an inexact calculation for
 615          * f_lo*G(i) is good enough.
 616          */
 617         if (0)
 618                 d_hi = x * G(i) - 1;
 619         else {
 620 #ifdef USE_UTAB
 621                 d_hi = (x - H(i)) * G(i) + E(i);
 622 #else
 623                 long double x_hi, x_lo;
 624                 float fx_hi;
 625
 626                 SET_FLOAT_WORD(fx_hi, (lx >> 40) | 0x3f800000);
 627                 x_hi = fx_hi;
 628                 x_lo = x - x_hi;
 629                 d_hi = x_hi * G(i) - 1 + x_lo * G(i);
 630 #endif
 631         }
 632         d_lo = f_lo * G(i);
 633
 634         /*
 635          * This is _2sumF(d_hi, d_lo) inlined.  The condition
 636          * (d_hi == 0 || |d_hi| >= |d_lo|) for using _2sumF() is not
 637          * always satisifed, so it is not clear that this works, but
 638          * it works in practice.  It works even if it gives a wrong
 639          * normalized d_lo, since |d_lo| > |d_hi| implies that i is
 640          * nonzero and d is tiny, so the F(i) term dominates d_lo.
 641          * In float precision:
 642          * (By exhaustive testing, the worst case is d_hi = 0x1.bp-25.
 643          * And if d is only a little tinier than that, we would have
 644          * another underflow problem for the P3 term; this is also ruled
 645          * out by exhaustive testing.)
 646          */
 647         d = d_hi + d_lo;
 648         d_lo = d_hi - d + d_lo;
 649         d_hi = d;
 650
 651         z = d * d;
 652         val_lo = z * d * z * (z * (d * P8 + P7) + (d * P6 + P5)) +
 653             (F_lo(i) + dk * ln2_lo + d_lo + z * d * (d * P4 + P3)) + z * P2;
 654         val_hi = d_hi;
 655 #ifdef DEBUG
 656         if (fetestexcept(FE_UNDERFLOW))
 657                 breakpoint();
 658 #endif
 659
 660         _3sumF(val_hi, val_lo, F_hi(i) + dk * ln2_hi);
 661         RETURN2PI(val_hi, val_lo);
 662 }
 663
 664 #ifdef STRUCT_RETURN
 665
 666 long double
 667 logl(long double x)
 668 {
 669         struct ld r;
 670
 671         ENTERI();
 672         DOPRINT_START(&x);
 673         k_logl(x, &r);
 674         RETURNSPI(&r);
 675 }
 676
 677 static const double
 678 invln10_hi =  4.3429448190317999e-1,            /*  0x1bcb7b1526e000.0p-54 */
 679 invln10_lo =  7.1842412889749798e-14,           /*  0x1438ca9aadd558.0p-96 */
 680 invln2_hi =  1.4426950408887933e0,              /*  0x171547652b8000.0p-52 */
 681 invln2_lo =  1.7010652264631490e-13;            /*  0x17f0bbbe87fed0.0p-95 */
 682
 683 long double
 684 log10l(long double x)
 685 {
 686         struct ld r;
 687         long double hi, lo;
 688
 689         ENTERI();
 690         DOPRINT_START(&x);
 691         k_logl(x, &r);
 692         if (!r.lo_set)
 693                 RETURNPI(r.hi);
 694         _2sumF(r.hi, r.lo);
 695         hi = (float)r.hi;
 696         lo = r.lo + (r.hi - hi);
 697         RETURN2PI(invln10_hi * hi,
 698             (invln10_lo + invln10_hi) * lo + invln10_lo * hi);
 699 }
 700
 701 long double
 702 log2l(long double x)
 703 {
 704         struct ld r;
 705         long double hi, lo;
 706
 707         ENTERI();
 708         DOPRINT_START(&x);
 709         k_logl(x, &r);
 710         if (!r.lo_set)
 711                 RETURNPI(r.hi);
 712         _2sumF(r.hi, r.lo);
 713         hi = (float)r.hi;
 714         lo = r.lo + (r.hi - hi);
 715         RETURN2PI(invln2_hi * hi,
 716             (invln2_lo + invln2_hi) * lo + invln2_lo * hi);
 717 }
 718
 719 #endif /* STRUCT_RETURN */