lib/msun/ld128/s_expl.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 2009-2013 Steven G. Kargl
   3  * All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  10  *    disclaimer.
  11  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  12  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  13  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  14  *
  15  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  16  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  17  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  18  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  19  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  20  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  21  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  22  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  23  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  24  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  25  *
  26  * Optimized by Bruce D. Evans.
  27  */
  28
  29 #include <sys/cdefs.h>
  30 __FBSDID("$FreeBSD$");
  31
  32 /*
  33  * ld128 version of s_expl.c.  See ../ld80/s_expl.c for most comments.
  34  */
  35
  36 #include <float.h>
  37
  38 #include "fpmath.h"
  39 #include "math.h"
  40 #include "math_private.h"
  41 #include "k_expl.h"
  42
  43 /* XXX Prevent compilers from erroneously constant folding these: */
  44 static const volatile long double
  45 huge = 0x1p10000L,
  46 tiny = 0x1p-10000L;
  47
  48 static const long double
  49 twom10000 = 0x1p-10000L;
  50
  51 static const long double
  52 /* log(2**16384 - 0.5) rounded towards zero: */
  53 /* log(2**16384 - 0.5 + 1) rounded towards zero for expm1l() is the same: */
  54 o_threshold =  11356.523406294143949491931077970763428L,
  55 /* log(2**(-16381-64-1)) rounded towards zero: */
  56 u_threshold = -11433.462743336297878837243843452621503L;
  57
  58 long double
  59 expl(long double x)
  60 {
  61         union IEEEl2bits u;
  62         long double hi, lo, t, twopk;
  63         int k;
  64         uint16_t hx, ix;
  65
  66         DOPRINT_START(&x);
  67
  68         /* Filter out exceptional cases. */
  69         u.e = x;
  70         hx = u.xbits.expsign;
  71         ix = hx & 0x7fff;
  72         if (ix >= BIAS + 13) {          /* |x| >= 8192 or x is NaN */
  73                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
  74                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf or -NaN */
  75                                 RETURNP(-1 / x);
  76                         RETURNP(x + x); /* x is +Inf or +NaN */
  77                 }
  78                 if (x > o_threshold)
  79                         RETURNP(huge * huge);
  80                 if (x < u_threshold)
  81                         RETURNP(tiny * tiny);
  82         } else if (ix < BIAS - 114) {   /* |x| < 0x1p-114 */
  83                 RETURN2P(1, x);         /* 1 with inexact iff x != 0 */
  84         }
  85
  86         ENTERI();
  87
  88         twopk = 1;
  89         __k_expl(x, &hi, &lo, &k);
  90         t = SUM2P(hi, lo);
  91
  92         /* Scale by 2**k. */
  93         /* XXX sparc64 multiplication is so slow that scalbnl() is faster. */
  94         if (k >= LDBL_MIN_EXP) {
  95                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
  96                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L);
  97                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k);
  98                 RETURNI(t * twopk);
  99         } else {
 100                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k + 10000);
 101                 RETURNI(t * twopk * twom10000);
 102         }
 103 }
 104
 105 /*
 106  * Our T1 and T2 are chosen to be approximately the points where method
 107  * A and method B have the same accuracy.  Tang's T1 and T2 are the
 108  * points where method A's accuracy changes by a full bit.  For Tang,
 109  * this drop in accuracy makes method A immediately less accurate than
 110  * method B, but our larger INTERVALS makes method A 2 bits more
 111  * accurate so it remains the most accurate method significantly
 112  * closer to the origin despite losing the full bit in our extended
 113  * range for it.
 114  *
 115  * Split the interval [T1, T2] into two intervals [T1, T3] and [T3, T2].
 116  * Setting T3 to 0 would require the |x| < 0x1p-113 condition to appear
 117  * in both subintervals, so set T3 = 2**-5, which places the condition
 118  * into the [T1, T3] interval.
 119  *
 120  * XXX we now do this more to (partially) balance the number of terms
 121  * in the C and D polys than to avoid checking the condition in both
 122  * intervals.
 123  *
 124  * XXX these micro-optimizations are excessive.
 125  */
 126 static const double
 127 T1 = -0.1659,                           /* ~-30.625/128 * log(2) */
 128 T2 =  0.1659,                           /* ~30.625/128 * log(2) */
 129 T3 =  0.03125;
 130
 131 /*
 132  * Domain [-0.1659, 0.03125], range ~[2.9134e-44, 1.8404e-37]:
 133  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| < 2**-122.03
 134 /*
 135  * XXX none of the long double C or D coeffs except C10 is correctly printed.
 136  * If you re-print their values in %.35Le format, the result is always
 137  * different.  For example, the last 2 digits in C3 should be 59, not 67.
 138  * 67 is apparently from rounding an extra-precision value to 36 decimal
 139  * places.
 140  */
 141 static const long double
 142 C3  =  1.66666666666666666666666666666666667e-1L,
 143 C4  =  4.16666666666666666666666666666666645e-2L,
 144 C5  =  8.33333333333333333333333333333371638e-3L,
 145 C6  =  1.38888888888888888888888888891188658e-3L,
 146 C7  =  1.98412698412698412698412697235950394e-4L,
 147 C8  =  2.48015873015873015873015112487849040e-5L,
 148 C9  =  2.75573192239858906525606685484412005e-6L,
 149 C10 =  2.75573192239858906612966093057020362e-7L,
 150 C11 =  2.50521083854417203619031960151253944e-8L,
 151 C12 =  2.08767569878679576457272282566520649e-9L,
 152 C13 =  1.60590438367252471783548748824255707e-10L;
 153
 154 /*
 155  * XXX this has 1 more coeff than needed.
 156  * XXX can start the double coeffs but not the double mults at C10.
 157  * With my coeffs (C10-C17 double; s = best_s):
 158  * Domain [-0.1659, 0.03125], range ~[-1.1976e-37, 1.1976e-37]:
 159  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| ~< 2**-122.65
 160  */
 161 static const double
 162 C14 =  1.1470745580491932e-11,          /*  0x1.93974a81dae30p-37 */
 163 C15 =  7.6471620181090468e-13,          /*  0x1.ae7f3820adab1p-41 */
 164 C16 =  4.7793721460260450e-14,          /*  0x1.ae7cd18a18eacp-45 */
 165 C17 =  2.8074757356658877e-15,          /*  0x1.949992a1937d9p-49 */
 166 C18 =  1.4760610323699476e-16;          /*  0x1.545b43aabfbcdp-53 */
 167
 168 /*
 169  * Domain [0.03125, 0.1659], range ~[-2.7676e-37, -1.0367e-38]:
 170  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| < 2**-121.44
 171  */
 172 static const long double
 173 D3  =  1.66666666666666666666666666666682245e-1L,
 174 D4  =  4.16666666666666666666666666634228324e-2L,
 175 D5  =  8.33333333333333333333333364022244481e-3L,
 176 D6  =  1.38888888888888888888887138722762072e-3L,
 177 D7  =  1.98412698412698412699085805424661471e-4L,
 178 D8  =  2.48015873015873015687993712101479612e-5L,
 179 D9  =  2.75573192239858944101036288338208042e-6L,
 180 D10 =  2.75573192239853161148064676533754048e-7L,
 181 D11 =  2.50521083855084570046480450935267433e-8L,
 182 D12 =  2.08767569819738524488686318024854942e-9L,
 183 D13 =  1.60590442297008495301927448122499313e-10L;
 184
 185 /*
 186  * XXX this has 1 more coeff than needed.
 187  * XXX can start the double coeffs but not the double mults at D11.
 188  * With my coeffs (D11-D16 double):
 189  * Domain [0.03125, 0.1659], range ~[-1.1980e-37, 1.1980e-37]:
 190  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| ~< 2**-122.65
 191  */
 192 static const double
 193 D14 =  1.1470726176204336e-11,          /*  0x1.93971dc395d9ep-37 */
 194 D15 =  7.6478532249581686e-13,          /*  0x1.ae892e3D16fcep-41 */
 195 D16 =  4.7628892832607741e-14,          /*  0x1.ad00Dfe41feccp-45 */
 196 D17 =  3.0524857220358650e-15;          /*  0x1.D7e8d886Df921p-49 */
 197
 198 long double
 199 expm1l(long double x)
 200 {
 201         union IEEEl2bits u, v;
 202         long double hx2_hi, hx2_lo, q, r, r1, t, twomk, twopk, x_hi;
 203         long double x_lo, x2;
 204         double dr, dx, fn, r2;
 205         int k, n, n2;
 206         uint16_t hx, ix;
 207
 208         DOPRINT_START(&x);
 209
 210         /* Filter out exceptional cases. */
 211         u.e = x;
 212         hx = u.xbits.expsign;
 213         ix = hx & 0x7fff;
 214         if (ix >= BIAS + 7) {           /* |x| >= 128 or x is NaN */
 215                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
 216                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf or -NaN */
 217                                 RETURNP(-1 / x - 1);
 218                         RETURNP(x + x); /* x is +Inf or +NaN */
 219                 }
 220                 if (x > o_threshold)
 221                         RETURNP(huge * huge);
 222                 /*
 223                  * expm1l() never underflows, but it must avoid
 224                  * unrepresentable large negative exponents.  We used a
 225                  * much smaller threshold for large |x| above than in
 226                  * expl() so as to handle not so large negative exponents
 227                  * in the same way as large ones here.
 228                  */
 229                 if (hx & 0x8000)        /* x <= -128 */
 230                         RETURN2P(tiny, -1);     /* good for x < -114ln2 - eps */
 231         }
 232
 233         ENTERI();
 234
 235         if (T1 < x && x < T2) {
 236                 x2 = x * x;
 237                 dx = x;
 238
 239                 if (x < T3) {
 240                         if (ix < BIAS - 113) {  /* |x| < 0x1p-113 */
 241                                 /* x (rounded) with inexact if x != 0: */
 242                                 RETURNPI(x == 0 ? x :
 243                                     (0x1p200 * x + fabsl(x)) * 0x1p-200);
 244                         }
 245                         q = x * x2 * C3 + x2 * x2 * (C4 + x * (C5 + x * (C6 +
 246                             x * (C7 + x * (C8 + x * (C9 + x * (C10 +
 247                             x * (C11 + x * (C12 + x * (C13 +
 248                             dx * (C14 + dx * (C15 + dx * (C16 +
 249                             dx * (C17 + dx * C18))))))))))))));
 250                 } else {
 251                         q = x * x2 * D3 + x2 * x2 * (D4 + x * (D5 + x * (D6 +
 252                             x * (D7 + x * (D8 + x * (D9 + x * (D10 +
 253                             x * (D11 + x * (D12 + x * (D13 +
 254                             dx * (D14 + dx * (D15 + dx * (D16 +
 255                             dx * D17)))))))))))));
 256                 }
 257
 258                 x_hi = (float)x;
 259                 x_lo = x - x_hi;
 260                 hx2_hi = x_hi * x_hi / 2;
 261                 hx2_lo = x_lo * (x + x_hi) / 2;
 262                 if (ix >= BIAS - 7)
 263                         RETURN2PI(hx2_hi + x_hi, hx2_lo + x_lo + q);
 264                 else
 265                         RETURN2PI(x, hx2_lo + q + hx2_hi);
 266         }
 267
 268         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 269         /* Use a specialized rint() to get fn.  Assume round-to-nearest. */
 270         fn = (double)x * INV_L + 0x1.8p52 - 0x1.8p52;
 271 #if defined(HAVE_EFFICIENT_IRINT)
 272         n = irint(fn);
 273 #else
 274         n = (int)fn;
 275 #endif
 276         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 277         k = n >> LOG2_INTERVALS;
 278         r1 = x - fn * L1;
 279         r2 = fn * -L2;
 280         r = r1 + r2;
 281
 282         /* Prepare scale factor. */
 283         v.e = 1;
 284         v.xbits.expsign = BIAS + k;
 285         twopk = v.e;
 286
 287         /*
 288          * Evaluate lower terms of
 289          * expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2).
 290          */
 291         dr = r;
 292         q = r2 + r * r * (A2 + r * (A3 + r * (A4 + r * (A5 + r * (A6 +
 293             dr * (A7 + dr * (A8 + dr * (A9 + dr * A10))))))));
 294
 295         t = tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 296
 297         if (k == 0) {
 298                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 1, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 299                     tbl[n2].hi * r1);
 300                 RETURNI(t);
 301         }
 302         if (k == -1) {
 303                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 2, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 304                     tbl[n2].hi * r1);
 305                 RETURNI(t / 2);
 306         }
 307         if (k < -7) {
 308                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 309                 RETURNI(t * twopk - 1);
 310         }
 311         if (k > 2 * LDBL_MANT_DIG - 1) {
 312                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 313                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 314                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L - 1);
 315                 RETURNI(t * twopk - 1);
 316         }
 317
 318         v.xbits.expsign = BIAS - k;
 319         twomk = v.e;
 320
 321         if (k > LDBL_MANT_DIG - 1)
 322                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo - twomk + t * (q + r1));
 323         else
 324                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - twomk, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 325         RETURNI(t * twopk);
 326 }