lib/msun/ld80/s_expl.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 2009-2013 Steven G. Kargl
   3  * All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  10  *    disclaimer.
  11  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  12  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  13  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  14  *
  15  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  16  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  17  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  18  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  19  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  20  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  21  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  22  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  23  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  24  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  25  *
  26  * Optimized by Bruce D. Evans.
  27  */
  28
  29 #include <sys/cdefs.h>
  30 __FBSDID("$FreeBSD$");
  31
  32 /**
  33  * Compute the exponential of x for Intel 80-bit format.  This is based on:
  34  *
  35  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the exponential function
  36  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 15,
  37  *   144-157 (1989).
  38  *
  39  * where the 32 table entries have been expanded to INTERVALS (see below).
  40  */
  41
  42 #include <float.h>
  43
  44 #ifdef __i386__
  45 #include <ieeefp.h>
  46 #endif
  47
  48 #include "fpmath.h"
  49 #include "math.h"
  50 #include "math_private.h"
  51 #include "k_expl.h"
  52
  53 /* XXX Prevent compilers from erroneously constant folding these: */
  54 static const volatile long double
  55 huge = 0x1p10000L,
  56 tiny = 0x1p-10000L;
  57
  58 static const long double
  59 twom10000 = 0x1p-10000L;
  60
  61 static const union IEEEl2bits
  62 /* log(2**16384 - 0.5) rounded towards zero: */
  63 /* log(2**16384 - 0.5 + 1) rounded towards zero for expm1l() is the same: */
  64 o_thresholdu = LD80C(0xb17217f7d1cf79ab, 13,  11356.5234062941439488L),
  65 #define o_threshold      (o_thresholdu.e)
  66 /* log(2**(-16381-64-1)) rounded towards zero: */
  67 u_thresholdu = LD80C(0xb21dfe7f09e2baa9, 13, -11399.4985314888605581L);
  68 #define u_threshold      (u_thresholdu.e)
  69
  70 long double
  71 expl(long double x)
  72 {
  73         union IEEEl2bits u;
  74         long double hi, lo, t, twopk;
  75         int k;
  76         uint16_t hx, ix;
  77
  78         DOPRINT_START(&x);
  79
  80         /* Filter out exceptional cases. */
  81         u.e = x;
  82         hx = u.xbits.expsign;
  83         ix = hx & 0x7fff;
  84         if (ix >= BIAS + 13) {          /* |x| >= 8192 or x is NaN */
  85                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
  86                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
  87                                 RETURNP(-1 / x);
  88                         RETURNP(x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
  89                 }
  90                 if (x > o_threshold)
  91                         RETURNP(huge * huge);
  92                 if (x < u_threshold)
  93                         RETURNP(tiny * tiny);
  94         } else if (ix < BIAS - 75) {    /* |x| < 0x1p-75 (includes pseudos) */
  95                 RETURN2P(1, x);         /* 1 with inexact iff x != 0 */
  96         }
  97
  98         ENTERI();
  99
 100         twopk = 1;
 101         __k_expl(x, &hi, &lo, &k);
 102         t = SUM2P(hi, lo);
 103
 104         /* Scale by 2**k. */
 105         if (k >= LDBL_MIN_EXP) {
 106                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 107                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L);
 108                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k);
 109                 RETURNI(t * twopk);
 110         } else {
 111                 SET_LDBL_EXPSIGN(twopk, BIAS + k + 10000);
 112                 RETURNI(t * twopk * twom10000);
 113         }
 114 }
 115
 116 /**
 117  * Compute expm1l(x) for Intel 80-bit format.  This is based on:
 118  *
 119  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the Expm1 function
 120  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 18,
 121  *   211-222 (1992).
 122  */
 123
 124 /*
 125  * Our T1 and T2 are chosen to be approximately the points where method
 126  * A and method B have the same accuracy.  Tang's T1 and T2 are the
 127  * points where method A's accuracy changes by a full bit.  For Tang,
 128  * this drop in accuracy makes method A immediately less accurate than
 129  * method B, but our larger INTERVALS makes method A 2 bits more
 130  * accurate so it remains the most accurate method significantly
 131  * closer to the origin despite losing the full bit in our extended
 132  * range for it.
 133  */
 134 static const double
 135 T1 = -0.1659,                           /* ~-30.625/128 * log(2) */
 136 T2 =  0.1659;                           /* ~30.625/128 * log(2) */
 137
 138 /*
 139  * Domain [-0.1659, 0.1659], range ~[-2.6155e-22, 2.5507e-23]:
 140  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| < 2**-71.6
 141  *
 142  * XXX the coeffs aren't very carefully rounded, and I get 2.8 more bits,
 143  * but unlike for ld128 we can't drop any terms.
 144  */
 145 static const union IEEEl2bits
 146 B3 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaab, -3,  1.66666666666666666671e-1L),
 147 B4 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaac, -5,  4.16666666666666666712e-2L);
 148
 149 static const double
 150 B5  =  8.3333333333333245e-3,           /*  0x1.111111111110cp-7 */
 151 B6  =  1.3888888888888861e-3,           /*  0x1.6c16c16c16c0ap-10 */
 152 B7  =  1.9841269841532042e-4,           /*  0x1.a01a01a0319f9p-13 */
 153 B8  =  2.4801587302069236e-5,           /*  0x1.a01a01a03cbbcp-16 */
 154 B9  =  2.7557316558468562e-6,           /*  0x1.71de37fd33d67p-19 */
 155 B10 =  2.7557315829785151e-7,           /*  0x1.27e4f91418144p-22 */
 156 B11 =  2.5063168199779829e-8,           /*  0x1.ae94fabdc6b27p-26 */
 157 B12 =  2.0887164654459567e-9;           /*  0x1.1f122d6413fe1p-29 */
 158
 159 long double
 160 expm1l(long double x)
 161 {
 162         union IEEEl2bits u, v;
 163         long double fn, hx2_hi, hx2_lo, q, r, r1, r2, t, twomk, twopk, x_hi;
 164         long double x_lo, x2, z;
 165         long double x4;
 166         int k, n, n2;
 167         uint16_t hx, ix;
 168
 169         DOPRINT_START(&x);
 170
 171         /* Filter out exceptional cases. */
 172         u.e = x;
 173         hx = u.xbits.expsign;
 174         ix = hx & 0x7fff;
 175         if (ix >= BIAS + 6) {           /* |x| >= 64 or x is NaN */
 176                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
 177                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
 178                                 RETURNP(-1 / x - 1);
 179                         RETURNP(x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
 180                 }
 181                 if (x > o_threshold)
 182                         RETURNP(huge * huge);
 183                 /*
 184                  * expm1l() never underflows, but it must avoid
 185                  * unrepresentable large negative exponents.  We used a
 186                  * much smaller threshold for large |x| above than in
 187                  * expl() so as to handle not so large negative exponents
 188                  * in the same way as large ones here.
 189                  */
 190                 if (hx & 0x8000)        /* x <= -64 */
 191                         RETURN2P(tiny, -1);     /* good for x < -65ln2 - eps */
 192         }
 193
 194         ENTERI();
 195
 196         if (T1 < x && x < T2) {
 197                 if (ix < BIAS - 74) {   /* |x| < 0x1p-74 (includes pseudos) */
 198                         /* x (rounded) with inexact if x != 0: */
 199                         RETURNPI(x == 0 ? x :
 200                             (0x1p100 * x + fabsl(x)) * 0x1p-100);
 201                 }
 202
 203                 x2 = x * x;
 204                 x4 = x2 * x2;
 205                 q = x4 * (x2 * (x4 *
 206                     /*
 207                      * XXX the number of terms is no longer good for
 208                      * pairwise grouping of all except B3, and the
 209                      * grouping is no longer from highest down.
 210                      */
 211                     (x2 *            B12  + (x * B11 + B10)) +
 212                     (x2 * (x * B9 +  B8) +  (x * B7 +  B6))) +
 213                           (x * B5 +  B4.e)) + x2 * x * B3.e;
 214
 215                 x_hi = (float)x;
 216                 x_lo = x - x_hi;
 217                 hx2_hi = x_hi * x_hi / 2;
 218                 hx2_lo = x_lo * (x + x_hi) / 2;
 219                 if (ix >= BIAS - 7)
 220                         RETURN2PI(hx2_hi + x_hi, hx2_lo + x_lo + q);
 221                 else
 222                         RETURN2PI(x, hx2_lo + q + hx2_hi);
 223         }
 224
 225         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 226         /* Use a specialized rint() to get fn.  Assume round-to-nearest. */
 227         fn = x * INV_L + 0x1.8p63 - 0x1.8p63;
 228 #if defined(HAVE_EFFICIENT_IRINTL)
 229         n = irintl(fn);
 230 #elif defined(HAVE_EFFICIENT_IRINT)
 231         n = irint(fn);
 232 #else
 233         n = (int)fn;
 234 #endif
 235         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 236         k = n >> LOG2_INTERVALS;
 237         r1 = x - fn * L1;
 238         r2 = fn * -L2;
 239         r = r1 + r2;
 240
 241         /* Prepare scale factor. */
 242         v.e = 1;
 243         v.xbits.expsign = BIAS + k;
 244         twopk = v.e;
 245
 246         /*
 247          * Evaluate lower terms of
 248          * expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2).
 249          */
 250         z = r * r;
 251         q = r2 + z * (A2 + r * A3) + z * z * (A4 + r * A5) + z * z * z * A6;
 252
 253         t = (long double)tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 254
 255         if (k == 0) {
 256                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 1, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 257                     tbl[n2].hi * r1);
 258                 RETURNI(t);
 259         }
 260         if (k == -1) {
 261                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - 2, tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q +
 262                     tbl[n2].hi * r1);
 263                 RETURNI(t / 2);
 264         }
 265         if (k < -7) {
 266                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 267                 RETURNI(t * twopk - 1);
 268         }
 269         if (k > 2 * LDBL_MANT_DIG - 1) {
 270                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 271                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 272                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L - 1);
 273                 RETURNI(t * twopk - 1);
 274         }
 275
 276         v.xbits.expsign = BIAS - k;
 277         twomk = v.e;
 278
 279         if (k > LDBL_MANT_DIG - 1)
 280                 t = SUM2P(tbl[n2].hi, tbl[n2].lo - twomk + t * (q + r1));
 281         else
 282                 t = SUM2P(tbl[n2].hi - twomk, tbl[n2].lo + t * (q + r1));
 283         RETURNI(t * twopk);
 284 }