lib/msun/ld80/s_expl.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 2009-2013 Steven G. Kargl
   3  * All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  10  *    disclaimer.
  11  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  12  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  13  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  14  *
  15  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  16  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  17  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  18  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  19  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  20  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  21  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  22  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  23  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  24  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  25  *
  26  * Optimized by Bruce D. Evans.
  27  */
  28
  29 #include <sys/cdefs.h>
  30 __FBSDID("$FreeBSD$");
  31
  32 /**
  33  * Compute the exponential of x for Intel 80-bit format.  This is based on:
  34  *
  35  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the exponential function
  36  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 15,
  37  *   144-157 (1989).
  38  *
  39  * where the 32 table entries have been expanded to INTERVALS (see below).
  40  */
  41
  42 #include <float.h>
  43
  44 #ifdef __i386__
  45 #include <ieeefp.h>
  46 #endif
  47
  48 #include "fpmath.h"
  49 #include "math.h"
  50 #include "math_private.h"
  51
  52 #define INTERVALS       128
  53 #define LOG2_INTERVALS  7
  54 #define BIAS    (LDBL_MAX_EXP - 1)
  55
  56 static const long double
  57 huge = 0x1p10000L,
  58 twom10000 = 0x1p-10000L;
  59 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this: */
  60 static volatile const long double tiny = 0x1p-10000L;
  61
  62 static const union IEEEl2bits
  63 /* log(2**16384 - 0.5) rounded towards zero: */
  64 /* log(2**16384 - 0.5 + 1) rounded towards zero for expm1l() is the same: */
  65 o_thresholdu = LD80C(0xb17217f7d1cf79ab, 13,  11356.5234062941439488L),
  66 #define o_threshold      (o_thresholdu.e)
  67 /* log(2**(-16381-64-1)) rounded towards zero: */
  68 u_thresholdu = LD80C(0xb21dfe7f09e2baa9, 13, -11399.4985314888605581L);
  69 #define u_threshold      (u_thresholdu.e)
  70
  71 static const double
  72 /*
  73  * ln2/INTERVALS = L1+L2 (hi+lo decomposition for multiplication).  L1 must
  74  * have at least 22 (= log2(|LDBL_MIN_EXP-extras|) + log2(INTERVALS)) lowest
  75  * bits zero so that multiplication of it by n is exact.
  76  */
  77 INV_L = 1.8466496523378731e+2,          /*  0x171547652b82fe.0p-45 */
  78 L1 =  5.4152123484527692e-3,            /*  0x162e42ff000000.0p-60 */
  79 L2 = -3.2819649005320973e-13,           /* -0x1718432a1b0e26.0p-94 */
  80 /*
  81  * Domain [-0.002708, 0.002708], range ~[-5.7136e-24, 5.7110e-24]:
  82  * |exp(x) - p(x)| < 2**-77.2
  83  * (0.002708 is ln2/(2*INTERVALS) rounded up a little).
  84  */
  85 A2 =  0.5,
  86 A3 =  1.6666666666666119e-1,            /*  0x15555555555490.0p-55 */
  87 A4 =  4.1666666666665887e-2,            /*  0x155555555554e5.0p-57 */
  88 A5 =  8.3333354987869413e-3,            /*  0x1111115b789919.0p-59 */
  89 A6 =  1.3888891738560272e-3;            /*  0x16c16c651633ae.0p-62 */
  90
  91 /*
  92  * 2^(i/INTERVALS) for i in [0,INTERVALS] is represented by two values where
  93  * the first 53 bits of the significand are stored in hi and the next 53
  94  * bits are in lo.  Tang's paper states that the trailing 6 bits of hi must
  95  * be zero for his algorithm in both single and double precision, because
  96  * the table is re-used in the implementation of expm1() where a floating
  97  * point addition involving hi must be exact.  Here hi is double, so
  98  * converting it to long double gives 11 trailing zero bits.
  99  */
 100 static const struct {
 101         double  hi;
 102         double  lo;
 103 } tbl[INTERVALS] = {
 104         0x1p+0, 0x0p+0,
 105         0x1.0163da9fb3335p+0, 0x1.b61299ab8cdb7p-54,
 106         0x1.02c9a3e778060p+0, 0x1.dcdef95949ef4p-53,
 107         0x1.04315e86e7f84p+0, 0x1.7ae71f3441b49p-53,
 108         0x1.059b0d3158574p+0, 0x1.d73e2a475b465p-55,
 109         0x1.0706b29ddf6ddp+0, 0x1.8db880753b0f6p-53,
 110         0x1.0874518759bc8p+0, 0x1.186be4bb284ffp-57,
 111         0x1.09e3ecac6f383p+0, 0x1.1487818316136p-54,
 112         0x1.0b5586cf9890fp+0, 0x1.8a62e4adc610bp-54,
 113         0x1.0cc922b7247f7p+0, 0x1.01edc16e24f71p-54,
 114         0x1.0e3ec32d3d1a2p+0, 0x1.03a1727c57b53p-59,
 115         0x1.0fb66affed31ap+0, 0x1.e464123bb1428p-53,
 116         0x1.11301d0125b50p+0, 0x1.49d77e35db263p-53,
 117         0x1.12abdc06c31cbp+0, 0x1.f72575a649ad2p-53,
 118         0x1.1429aaea92ddfp+0, 0x1.66820328764b1p-53,
 119         0x1.15a98c8a58e51p+0, 0x1.2406ab9eeab0ap-55,
 120         0x1.172b83c7d517ap+0, 0x1.b9bef918a1d63p-53,
 121         0x1.18af9388c8de9p+0, 0x1.777ee1734784ap-53,
 122         0x1.1a35beb6fcb75p+0, 0x1.e5b4c7b4968e4p-55,
 123         0x1.1bbe084045cd3p+0, 0x1.3563ce56884fcp-53,
 124         0x1.1d4873168b9aap+0, 0x1.e016e00a2643cp-54,
 125         0x1.1ed5022fcd91cp+0, 0x1.71033fec2243ap-53,
 126         0x1.2063b88628cd6p+0, 0x1.dc775814a8495p-55,
 127         0x1.21f49917ddc96p+0, 0x1.2a97e9494a5eep-55,
 128         0x1.2387a6e756238p+0, 0x1.9b07eb6c70573p-54,
 129         0x1.251ce4fb2a63fp+0, 0x1.ac155bef4f4a4p-55,
 130         0x1.26b4565e27cddp+0, 0x1.2bd339940e9d9p-55,
 131         0x1.284dfe1f56380p+0, 0x1.2d9e2b9e07941p-53,
 132         0x1.29e9df51fdee1p+0, 0x1.612e8afad1255p-55,
 133         0x1.2b87fd0dad98fp+0, 0x1.fbbd48ca71f95p-53,
 134         0x1.2d285a6e4030bp+0, 0x1.0024754db41d5p-54,
 135         0x1.2ecafa93e2f56p+0, 0x1.1ca0f45d52383p-56,
 136         0x1.306fe0a31b715p+0, 0x1.6f46ad23182e4p-55,
 137         0x1.32170fc4cd831p+0, 0x1.a9ce78e18047cp-55,
 138         0x1.33c08b26416ffp+0, 0x1.32721843659a6p-54,
 139         0x1.356c55f929ff0p+0, 0x1.928c468ec6e76p-53,
 140         0x1.371a7373aa9cap+0, 0x1.4e28aa05e8a8fp-53,
 141         0x1.38cae6d05d865p+0, 0x1.0b53961b37da2p-53,
 142         0x1.3a7db34e59ff6p+0, 0x1.d43792533c144p-53,
 143         0x1.3c32dc313a8e4p+0, 0x1.08003e4516b1ep-53,
 144         0x1.3dea64c123422p+0, 0x1.ada0911f09ebcp-55,
 145         0x1.3fa4504ac801bp+0, 0x1.417ee03548306p-53,
 146         0x1.4160a21f72e29p+0, 0x1.f0864b71e7b6cp-53,
 147         0x1.431f5d950a896p+0, 0x1.b8e088728219ap-53,
 148         0x1.44e086061892dp+0, 0x1.89b7a04ef80d0p-59,
 149         0x1.46a41ed1d0057p+0, 0x1.c944bd1648a76p-54,
 150         0x1.486a2b5c13cd0p+0, 0x1.3c1a3b69062f0p-56,
 151         0x1.4a32af0d7d3dep+0, 0x1.9cb62f3d1be56p-54,
 152         0x1.4bfdad5362a27p+0, 0x1.d4397afec42e2p-56,
 153         0x1.4dcb299fddd0dp+0, 0x1.8ecdbbc6a7833p-54,
 154         0x1.4f9b2769d2ca6p+0, 0x1.5a67b16d3540ep-53,
 155         0x1.516daa2cf6641p+0, 0x1.8225ea5909b04p-53,
 156         0x1.5342b569d4f81p+0, 0x1.be1507893b0d5p-53,
 157         0x1.551a4ca5d920ep+0, 0x1.8a5d8c4048699p-53,
 158         0x1.56f4736b527dap+0, 0x1.9bb2c011d93adp-54,
 159         0x1.58d12d497c7fdp+0, 0x1.295e15b9a1de8p-55,
 160         0x1.5ab07dd485429p+0, 0x1.6324c054647adp-54,
 161         0x1.5c9268a5946b7p+0, 0x1.c4b1b816986a2p-60,
 162         0x1.5e76f15ad2148p+0, 0x1.ba6f93080e65ep-54,
 163         0x1.605e1b976dc08p+0, 0x1.60edeb25490dcp-53,
 164         0x1.6247eb03a5584p+0, 0x1.63e1f40dfa5b5p-53,
 165         0x1.6434634ccc31fp+0, 0x1.8edf0e2989db3p-53,
 166         0x1.6623882552224p+0, 0x1.224fb3c5371e6p-53,
 167         0x1.68155d44ca973p+0, 0x1.038ae44f73e65p-57,
 168         0x1.6a09e667f3bccp+0, 0x1.21165f626cdd5p-53,
 169         0x1.6c012750bdabep+0, 0x1.daed533001e9ep-53,
 170         0x1.6dfb23c651a2ep+0, 0x1.e441c597c3775p-53,
 171         0x1.6ff7df9519483p+0, 0x1.9f0fc369e7c42p-53,
 172         0x1.71f75e8ec5f73p+0, 0x1.ba46e1e5de15ap-53,
 173         0x1.73f9a48a58173p+0, 0x1.7ab9349cd1562p-53,
 174         0x1.75feb564267c8p+0, 0x1.7edd354674916p-53,
 175         0x1.780694fde5d3fp+0, 0x1.866b80a02162dp-54,
 176         0x1.7a11473eb0186p+0, 0x1.afaa2047ed9b4p-53,
 177         0x1.7c1ed0130c132p+0, 0x1.f124cd1164dd6p-54,
 178         0x1.7e2f336cf4e62p+0, 0x1.05d02ba15797ep-56,
 179         0x1.80427543e1a11p+0, 0x1.6c1bccec9346bp-53,
 180         0x1.82589994cce12p+0, 0x1.159f115f56694p-53,
 181         0x1.8471a4623c7acp+0, 0x1.9ca5ed72f8c81p-53,
 182         0x1.868d99b4492ecp+0, 0x1.01c83b21584a3p-53,
 183         0x1.88ac7d98a6699p+0, 0x1.994c2f37cb53ap-54,
 184         0x1.8ace5422aa0dbp+0, 0x1.6e9f156864b27p-54,
 185         0x1.8cf3216b5448bp+0, 0x1.de55439a2c38bp-53,
 186         0x1.8f1ae99157736p+0, 0x1.5cc13a2e3976cp-55,
 187         0x1.9145b0b91ffc5p+0, 0x1.114c368d3ed6ep-53,
 188         0x1.93737b0cdc5e4p+0, 0x1.e8a0387e4a814p-53,
 189         0x1.95a44cbc8520ep+0, 0x1.d36906d2b41f9p-53,
 190         0x1.97d829fde4e4fp+0, 0x1.173d241f23d18p-53,
 191         0x1.9a0f170ca07b9p+0, 0x1.7462137188ce7p-53,
 192         0x1.9c49182a3f090p+0, 0x1.c7c46b071f2bep-56,
 193         0x1.9e86319e32323p+0, 0x1.824ca78e64c6ep-56,
 194         0x1.a0c667b5de564p+0, 0x1.6535b51719567p-53,
 195         0x1.a309bec4a2d33p+0, 0x1.6305c7ddc36abp-54,
 196         0x1.a5503b23e255cp+0, 0x1.1684892395f0fp-53,
 197         0x1.a799e1330b358p+0, 0x1.bcb7ecac563c7p-54,
 198         0x1.a9e6b5579fdbfp+0, 0x1.0fac90ef7fd31p-54,
 199         0x1.ac36bbfd3f379p+0, 0x1.81b72cd4624ccp-53,
 200         0x1.ae89f995ad3adp+0, 0x1.7a1cd345dcc81p-54,
 201         0x1.b0e07298db665p+0, 0x1.2108559bf8deep-53,
 202         0x1.b33a2b84f15fap+0, 0x1.ed7fa1cf7b290p-53,
 203         0x1.b59728de55939p+0, 0x1.1c7102222c90ep-53,
 204         0x1.b7f76f2fb5e46p+0, 0x1.d54f610356a79p-53,
 205         0x1.ba5b030a10649p+0, 0x1.0819678d5eb69p-53,
 206         0x1.bcc1e904bc1d2p+0, 0x1.23dd07a2d9e84p-55,
 207         0x1.bf2c25bd71e08p+0, 0x1.0811ae04a31c7p-53,
 208         0x1.c199bdd85529cp+0, 0x1.11065895048ddp-55,
 209         0x1.c40ab5fffd07ap+0, 0x1.b4537e083c60ap-54,
 210         0x1.c67f12e57d14bp+0, 0x1.2884dff483cadp-54,
 211         0x1.c8f6d9406e7b5p+0, 0x1.1acbc48805c44p-56,
 212         0x1.cb720dcef9069p+0, 0x1.503cbd1e949dbp-56,
 213         0x1.cdf0b555dc3f9p+0, 0x1.889f12b1f58a3p-53,
 214         0x1.d072d4a07897bp+0, 0x1.1a1e45e4342b2p-53,
 215         0x1.d2f87080d89f1p+0, 0x1.15bc247313d44p-53,
 216         0x1.d5818dcfba487p+0, 0x1.2ed02d75b3707p-55,
 217         0x1.d80e316c98397p+0, 0x1.7709f3a09100cp-53,
 218         0x1.da9e603db3285p+0, 0x1.c2300696db532p-54,
 219         0x1.dd321f301b460p+0, 0x1.2da5778f018c3p-54,
 220         0x1.dfc97337b9b5ep+0, 0x1.72d195873da52p-53,
 221         0x1.e264614f5a128p+0, 0x1.424ec3f42f5b5p-53,
 222         0x1.e502ee78b3ff6p+0, 0x1.39e8980a9cc8fp-55,
 223         0x1.e7a51fbc74c83p+0, 0x1.2d522ca0c8de2p-54,
 224         0x1.ea4afa2a490d9p+0, 0x1.0b1ee7431ebb6p-53,
 225         0x1.ecf482d8e67f0p+0, 0x1.1b60625f7293ap-53,
 226         0x1.efa1bee615a27p+0, 0x1.dc7f486a4b6b0p-54,
 227         0x1.f252b376bba97p+0, 0x1.3a1a5bf0d8e43p-54,
 228         0x1.f50765b6e4540p+0, 0x1.9d3e12dd8a18bp-54,
 229         0x1.f7bfdad9cbe13p+0, 0x1.1227697fce57bp-53,
 230         0x1.fa7c1819e90d8p+0, 0x1.74853f3a5931ep-55,
 231         0x1.fd3c22b8f71f1p+0, 0x1.2eb74966579e7p-57
 232 };
 233
 234 long double
 235 expl(long double x)
 236 {
 237         union IEEEl2bits u, v;
 238         long double fn, q, r, r1, r2, t, twopk, twopkp10000;
 239         long double z;
 240         int k, n, n2;
 241         uint16_t hx, ix;
 242
 243         /* Filter out exceptional cases. */
 244         u.e = x;
 245         hx = u.xbits.expsign;
 246         ix = hx & 0x7fff;
 247         if (ix >= BIAS + 13) {          /* |x| >= 8192 or x is NaN */
 248                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
 249                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
 250                                 return (-1 / x);
 251                         return (x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
 252                 }
 253                 if (x > o_threshold)
 254                         return (huge * huge);
 255                 if (x < u_threshold)
 256                         return (tiny * tiny);
 257         } else if (ix < BIAS - 65) {    /* |x| < 0x1p-65 (includes pseudos) */
 258                 return (1 + x);         /* 1 with inexact iff x != 0 */
 259         }
 260
 261         ENTERI();
 262
 263         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 264         /* Use a specialized rint() to get fn.  Assume round-to-nearest. */
 265         fn = x * INV_L + 0x1.8p63 - 0x1.8p63;
 266         r = x - fn * L1 - fn * L2;      /* r = r1 + r2 done independently. */
 267 #if defined(HAVE_EFFICIENT_IRINTL)
 268         n = irintl(fn);
 269 #elif defined(HAVE_EFFICIENT_IRINT)
 270         n = irint(fn);
 271 #else
 272         n = (int)fn;
 273 #endif
 274         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 275         /* Depend on the sign bit being propagated: */
 276         k = n >> LOG2_INTERVALS;
 277         r1 = x - fn * L1;
 278         r2 = fn * -L2;
 279
 280         /* Prepare scale factors. */
 281         v.e = 1;
 282         if (k >= LDBL_MIN_EXP) {
 283                 v.xbits.expsign = BIAS + k;
 284                 twopk = v.e;
 285         } else {
 286                 v.xbits.expsign = BIAS + k + 10000;
 287                 twopkp10000 = v.e;
 288         }
 289
 290         /* Evaluate expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2). */
 291         z = r * r;
 292         q = r2 + z * (A2 + r * A3) + z * z * (A4 + r * A5) + z * z * z * A6;
 293         t = (long double)tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 294         t = tbl[n2].lo + t * (q + r1) + tbl[n2].hi;
 295
 296         /* Scale by 2**k. */
 297         if (k >= LDBL_MIN_EXP) {
 298                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 299                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L);
 300                 RETURNI(t * twopk);
 301         } else {
 302                 RETURNI(t * twopkp10000 * twom10000);
 303         }
 304 }
 305
 306 /**
 307  * Compute expm1l(x) for Intel 80-bit format.  This is based on:
 308  *
 309  *   PTP Tang, "Table-driven implementation of the Expm1 function
 310  *   in IEEE floating-point arithmetic," ACM Trans. Math. Soft., 18,
 311  *   211-222 (1992).
 312  */
 313
 314 /*
 315  * Our T1 and T2 are chosen to be approximately the points where method
 316  * A and method B have the same accuracy.  Tang's T1 and T2 are the
 317  * points where method A's accuracy changes by a full bit.  For Tang,
 318  * this drop in accuracy makes method A immediately less accurate than
 319  * method B, but our larger INTERVALS makes method A 2 bits more
 320  * accurate so it remains the most accurate method significantly
 321  * closer to the origin despite losing the full bit in our extended
 322  * range for it.
 323  */
 324 static const double
 325 T1 = -0.1659,                           /* ~-30.625/128 * log(2) */
 326 T2 =  0.1659;                           /* ~30.625/128 * log(2) */
 327
 328 /*
 329  * Domain [-0.1659, 0.1659], range ~[-1.2027e-22, 3.4417e-22]:
 330  * |(exp(x)-1-x-x**2/2)/x - p(x)| < 2**-71.2
 331  */
 332 static const union IEEEl2bits
 333 B3 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaab, -3,  1.66666666666666666671e-1L),
 334 B4 = LD80C(0xaaaaaaaaaaaaaaac, -5,  4.16666666666666666712e-2L);
 335
 336 static const double
 337 B5  =  8.3333333333333245e-3,           /*  0x1.111111111110cp-7 */
 338 B6  =  1.3888888888888861e-3,           /*  0x1.6c16c16c16c0ap-10 */
 339 B7  =  1.9841269841532042e-4,           /*  0x1.a01a01a0319f9p-13 */
 340 B8  =  2.4801587302069236e-5,           /*  0x1.a01a01a03cbbcp-16 */
 341 B9  =  2.7557316558468562e-6,           /*  0x1.71de37fd33d67p-19 */
 342 B10 =  2.7557315829785151e-7,           /*  0x1.27e4f91418144p-22 */
 343 B11 =  2.5063168199779829e-8,           /*  0x1.ae94fabdc6b27p-26 */
 344 B12 =  2.0887164654459567e-9;           /*  0x1.1f122d6413fe1p-29 */
 345
 346 long double
 347 expm1l(long double x)
 348 {
 349         union IEEEl2bits u, v;
 350         long double fn, hx2_hi, hx2_lo, q, r, r1, r2, t, twomk, twopk, x_hi;
 351         long double x_lo, x2, z;
 352         long double x4;
 353         int k, n, n2;
 354         uint16_t hx, ix;
 355
 356         /* Filter out exceptional cases. */
 357         u.e = x;
 358         hx = u.xbits.expsign;
 359         ix = hx & 0x7fff;
 360         if (ix >= BIAS + 6) {           /* |x| >= 64 or x is NaN */
 361                 if (ix == BIAS + LDBL_MAX_EXP) {
 362                         if (hx & 0x8000)  /* x is -Inf, -NaN or unsupported */
 363                                 return (-1 / x - 1);
 364                         return (x + x); /* x is +Inf, +NaN or unsupported */
 365                 }
 366                 if (x > o_threshold)
 367                         return (huge * huge);
 368                 /*
 369                  * expm1l() never underflows, but it must avoid
 370                  * unrepresentable large negative exponents.  We used a
 371                  * much smaller threshold for large |x| above than in
 372                  * expl() so as to handle not so large negative exponents
 373                  * in the same way as large ones here.
 374                  */
 375                 if (hx & 0x8000)        /* x <= -64 */
 376                         return (tiny - 1);      /* good for x < -65ln2 - eps */
 377         }
 378
 379         ENTERI();
 380
 381         if (T1 < x && x < T2) {
 382                 if (ix < BIAS - 64) {   /* |x| < 0x1p-64 (includes pseudos) */
 383                         /* x (rounded) with inexact if x != 0: */
 384                         RETURNI(x == 0 ? x :
 385                             (0x1p100 * x + fabsl(x)) * 0x1p-100);
 386                 }
 387
 388                 x2 = x * x;
 389                 x4 = x2 * x2;
 390                 q = x4 * (x2 * (x4 *
 391                     /*
 392                      * XXX the number of terms is no longer good for
 393                      * pairwise grouping of all except B3, and the
 394                      * grouping is no longer from highest down.
 395                      */
 396                     (x2 *            B12  + (x * B11 + B10)) +
 397                     (x2 * (x * B9 +  B8) +  (x * B7 +  B6))) +
 398                           (x * B5 +  B4.e)) + x2 * x * B3.e;
 399
 400                 x_hi = (float)x;
 401                 x_lo = x - x_hi;
 402                 hx2_hi = x_hi * x_hi / 2;
 403                 hx2_lo = x_lo * (x + x_hi) / 2;
 404                 if (ix >= BIAS - 7)
 405                         RETURNI(hx2_lo + x_lo + q + (hx2_hi + x_hi));
 406                 else
 407                         RETURNI(hx2_lo + q + hx2_hi + x);
 408         }
 409
 410         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 411         /* Use a specialized rint() to get fn.  Assume round-to-nearest. */
 412         fn = x * INV_L + 0x1.8p63 - 0x1.8p63;
 413 #if defined(HAVE_EFFICIENT_IRINTL)
 414         n = irintl(fn);
 415 #elif defined(HAVE_EFFICIENT_IRINT)
 416         n = irint(fn);
 417 #else
 418         n = (int)fn;
 419 #endif
 420         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 421         k = n >> LOG2_INTERVALS;
 422         r1 = x - fn * L1;
 423         r2 = fn * -L2;
 424         r = r1 + r2;
 425
 426         /* Prepare scale factor. */
 427         v.e = 1;
 428         v.xbits.expsign = BIAS + k;
 429         twopk = v.e;
 430
 431         /*
 432          * Evaluate lower terms of
 433          * expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2).
 434          */
 435         z = r * r;
 436         q = r2 + z * (A2 + r * A3) + z * z * (A4 + r * A5) + z * z * z * A6;
 437
 438         t = (long double)tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 439
 440         if (k == 0) {
 441                 t = tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q + tbl[n2].hi * r1 +
 442                     (tbl[n2].hi - 1);
 443                 RETURNI(t);
 444         }
 445         if (k == -1) {
 446                 t = tbl[n2].lo * (r1 + 1) + t * q + tbl[n2].hi * r1 +
 447                     (tbl[n2].hi - 2);
 448                 RETURNI(t / 2);
 449         }
 450         if (k < -7) {
 451                 t = tbl[n2].lo + t * (q + r1) + tbl[n2].hi;
 452                 RETURNI(t * twopk - 1);
 453         }
 454         if (k > 2 * LDBL_MANT_DIG - 1) {
 455                 t = tbl[n2].lo + t * (q + r1) + tbl[n2].hi;
 456                 if (k == LDBL_MAX_EXP)
 457                         RETURNI(t * 2 * 0x1p16383L - 1);
 458                 RETURNI(t * twopk - 1);
 459         }
 460
 461         v.xbits.expsign = BIAS - k;
 462         twomk = v.e;
 463
 464         if (k > LDBL_MANT_DIG - 1)
 465                 t = tbl[n2].lo - twomk + t * (q + r1) + tbl[n2].hi;
 466         else
 467                 t = tbl[n2].lo + t * (q + r1) + (tbl[n2].hi - twomk);
 468         RETURNI(t * twopk);
 469 }